基于MATLAB的FIR滤波器的实现(3)

N?1?h(n)en?0?jwn去逼近理想的频率响应Hd(ejw)。然而，窗函数法设计FIR数字滤波器是

在时域中进行的，因此必须首先由理想的频率响应Hd(ejw)的傅里叶反变换推导出对应的单位脉冲响应hd(n)

hd(n)=

12?????Hd(ejw)ejwndw

（2-2）

再设计一个FIR数字滤波器的单位取样响应h(n)去逼近hd(n)。

由于Hd(ejw)是矩形频率特性，故hd(n)一定是无限长的序列，且是非因果的。而要设计的是FIR数字滤波器，其h(n)必定是有限长的，所以要用有限长的h(n)来逼近无限长的hd(n)，最简单且有效的方法就是截断hd(n)。

设计过程如下：

Hd(e) ????hd(n)????h(n)????H(e)

j?IDTFFT*w(n)DTFTj?加窗的作用是通过把理想滤波器的无限长脉冲响应hd(n)乘以窗函数w(n)来产生一个被截断的脉冲响应，即h(n)?hd(n)w(n)并且对频率响应进行平滑[15]。

窗函数主要用来减少序列因截断而产生的Gibbs效应。但当这个窗函数为矩形时，得到的FIR滤波器幅频响应会有明显的Gibbs效应，并且任意增加窗函数的长度（即FIR滤波器的抽头数）Gibbs效应也不能得到改善。为了克服这种现象，窗函数应该使设计的滤波器：

（1）频率特性的主瓣宽度应尽量窄，以获取较陡的过渡带；

（2）尽量减少频率特性的最大旁瓣的相对幅度。也就是能量尽量集中于主瓣，增大阻带的衰减。

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但这两项要求是不能同时满足的。当选用主瓣宽度较窄时，虽然得到较陡的过渡带，但是通带和阻带的波动明显增加；当选用最小的旁瓣幅度时，虽然能得到平坦的幅度响应和较小的阻带波纹，但过渡带加宽，即主瓣会加宽。因此，实际所选用的窗函数往往是它们的折中。在保证主瓣宽度达到一定要求的前提下，适当的牺牲主瓣宽度以换取相对旁瓣的抑制[6]。

设计FIR数字滤波器常用的窗函数有： 1.矩形窗(Rectangle window)

w(n)?RN0?n?N?1?1，???0，其他

（2-3）

其频率响应为

WR(ejw)?WR(w)e?j(N?1)w2

（2-4） （2-5）

WR(w)?WR(ejwsin(wN/2)sin(w/2)

)主瓣宽度为4?/N。

2.三角形窗(Bartlett window)

N?1?2n，0?n???N?12w(n)??N?1?2-2n，?n?N?1?N?12?（2-6）

其频率响应为

jwW(e)?2N?1sin[({N?1)]wN?1?j()w2sin(Nw/4)2?j(2)w242? }e()esin(w/2)Nsin(w/2)N?1（2-7）

近似结果在N>>1时成立。此时，主瓣宽度为8?瓣却小很多。

3.汉宁窗(Hanning window) 汉宁窗又称升余弦窗。

w(n)?sin(2/N，比矩形窗主瓣宽度增加一倍，但旁

?nN?1)RN(n)?12[1?cos(2?nN?1)]RN(n)

（2-8）

其频率响应为

W(ejw)?{0.5WR(w)?0.25[WR(w?2?N?1)?WR(w?2?N?1)]}e?j(N?12)w?W(w)e?j(N?12)w

（2-9）

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当N>>1时，N-1?N，所以，窗函数的幅度函数为

W(w)?0.5WR(w)?0.25[WR(w?2?N)?WR(w?2?N)] （2-10）

这三部分之和，使旁瓣互相抵消，能量更集中在主瓣。但是代价是主瓣宽度比矩形窗的主瓣宽度增加一倍，即为8?/N。

4.海明窗(Hamming window) 海明窗又称改进的升余弦窗。

把升余弦窗加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，形式为

w(n)?[0.54?0.46cos(2?nN?1)]RN(n)

（2-11）

其频率响应为

W(w)?0.54WR(w)?0.23[WR(w??0.54WR(w)?0.23[WR(w?2?N2?N?1)?WR(w?2?N)]2?N?1)] （2-12）

)?WR(w?与汉宁窗相比，主瓣宽度相同，为8?量集中在窗谱的主瓣内。

5.布莱克曼窗(Blackman window) 布莱克曼窗又称二阶升余弦窗。

/N，但旁瓣又进一步压低，结果可将99.963%的能

为了进一步抑制旁瓣，对升余弦窗再加上一个二次谐波的余弦分量，变成布莱克曼窗，故又称二阶升余弦窗。

w(n)?[0.42?0.5cos(2?nN?1)?0.08cos(4?nN?1)]RN(n)

（2-13）

其频率响应为

W(w)?0.42WR(w)?0.25[WR(w??0.04[WR(w?4?N?1)?WR(w?2?N?1)]/N)?WR(w?2?N?1)]4?N?1

（2-14）

此时主瓣宽度为矩形窗谱主瓣宽度的3倍，即为12?6.凯塞窗(Kaiser window)

。

以上几种窗函数是各以一定主瓣加宽为代价，来换取某种程度的旁瓣抑制，而凯塞窗则是全面地反映主瓣与旁瓣衰竭之间的交换关系，可以在它们两者之间自由的选择它们的比重。

凯塞窗是一种适应性较强的窗，其窗函数的表达式为

w(n)?I0(?1?[1?2n/(N?1)])I0(?)8

2，0?n?N-1

（2-15）

式中，I0(x)是第一类变形零阶贝塞尔函数，?是一个可自由选择的参数，它可以同时调整主瓣宽度与旁瓣电平，?越大，则w(n)窗越窄，而频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加。因而改变?值就可对主瓣宽度与旁瓣衰减进行选择。一般选择4

窗函数法的设计步骤归纳如下：

（1）给定希望逼近的频率响应函数Hd(ejw)； （2）根据式（2-2）求单位脉冲响应hd(n)

hd(n)=

12???H??d(ejw)ejwndw

如果Hd(ejw)很复杂或不能直接计算积分，则必须用求和代替积分，以便在计算机上计算，也就是要计算离散傅里叶反函数。

（3）由过渡带宽及阻带最小衰减的要求，可选定窗形状，并估计窗口长度。因过渡带?w近似与窗口长度成反比，N的窗函数。

（4）计算所设计的FIR数字滤波器的单位脉冲响应。

h(n)?hd(n)w(n)?A/?w，A决定于窗口形式，A参数选择参考表1。按照过渡带及

阻带衰减情况，选择窗函数形式。原则是在保证阻带衰减满足要求的情况下，尽量选择主瓣窄

，0?n?N?1

（5）由h(n)求FIR数字滤波器的系统函数H(z)

N?1H(z)??n?0h(n)z?n

表1 6种窗函数基本参数的比较

过度带宽?w 8?/N 8?/N 8?/N 12?/N 10?/N

4?/N

阻带最小衰减/dB

-21 -25 -44 -53 -74 -80

窗函数

矩形窗 三角形窗 汉宁窗 海明窗 布莱克曼窗

凯塞窗 （β=7.865）

旁瓣峰值幅度/dB

-13 -25 -31 -41 -57 -57

根据窗函数法设计一个FIR数字低通滤波器，技术指标如下：

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通带截止频率ωp=0.2πrad，通带允许波动Rp=0.25dB； 阻带截止频率ωs=0.3πrad，阻带衰减Rs=50dB。

思路：查表1可知，海明窗、布莱克曼窗以及凯塞窗均可提供大于50dB的衰减，但是海明窗具有较小的过渡带从而具有较小的长度N，故采用海明窗设计该低通滤波器

基于MATLAB对FIR数字低通滤波器设计实现的编程如下： clc; clear;

Wp=0.2*pi;Rp=0.25;Ws=0.3*pi;Rs=50; wt=Ws-Wp;%计算过渡带宽

N=8*pi/wt;%按海明窗计算滤波器的长度 n=[0:1:N-1];

Wc=(Wp+Ws)/2;%计算3dB通带截止频率 hd=ideal_lp(Wc,N); w_han=(hamming(N))'; h=hd.*w_han;

[db,mag,pha,grd,w]=freqz_m(h,1); subplot(1,1,1); subplot(2,2,1);

plot(w/pi,db);title('幅频特性图'); xlabel('w/pi'); ylabel('dB');

axis([0, 1, -150, 50]); subplot(2,2,2);

plot(w/pi,pha);title('相频特性图'); xlabel('w/pi'); ylabel('pha'); subplot(2,2,3);

stem(n,h,'.');title('实际脉冲响应'); xlabel('n');yla …… 此处隐藏：1866字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……