1-2-3 绝对值定值、最值探讨 讲义教师版(3)

≤2?1004?1005?...?2006??2?1?2?3?..?1003??2?10032 故青蛙跳过的路径的最大长度为2?10032

【解答】2?10032

【例14】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F到城市的距离分别为4、

10、15、17、19、20千米，而村庄G正好是AF的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？

城市ABGCDEF

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】因为村庄G是AF的中点，所以村庄G到城市的距离为12千米，即村庄G在村庄B、C之间，7 个

村庄依次排列为A、B、G、C、D、E、F．设活动中心到城市的距离为x千米，各村到活动中心的距离之和为y千米，则：y?x?4?x?10?x?12?x?15?x?17?x?19?x?20因为

4?10?12?15?17?19?20，所以当x?15时y有最小值，所以活动中心应当建在C 处．

【解答】C处

【例15】 如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P，使这5台机床到

供应站P的距离总和最小，点P建在哪？最小值为多少？

A-1B1C2D4E8

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】

【解析】设供应站P在数轴上所对应的数x，则5台机床到供应站P的距离总和为

x?(?1)?x?1?x?2?x?4?x?8，当x?2时，原式值最小为12．

即供应站P建在点C处，这5台机床到供应站P的距离总和最小为12．

【解答】12

【例16】 （6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，7个工厂A1，A2，…，A7分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？如果在P点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？

A7A6A4A3A2BEPFA5DCA1

【考点】绝对值最值探讨 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】

【解析】每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重

复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（B、C、D、E、F）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，即车站设在D点最好．若在P处再建一个工厂，则车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．

【解答】车站建在D处、E处或它们之间的任何地方都是最佳的．

【例17】 先阅读下面的材料，然后回答问题：

在一条直线上有依次排列的n?n?1?台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机

床到供应站P的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：

如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A1到A2的距离。

如图乙，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，

因此P放在A2处是最佳选择

不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之间的任何地方，有5台机床，P应设在第3台位置

问题⑴：有n台机床时，P应设在何处？

问题⑵：根据问题⑴的结论，求x?1?x?2?x?3?...?x?617的最小值 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答

【关键词】数形结合，山东省烟台中考 【解析】⑴当n为偶数时，P应设在第

位置

⑵根据绝对值的几何意义，求x?1?x?2?...?x?617的最小值，就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，...，617各点的距离之和最小，根据问题1的结论，当x?309时，原式的值最小，最小值是

nn?1?n?台和??1?台之间任何地方；当n为奇数时，P应设在第台的22?2?

309?1?309?2?...?309?308?0?309?310?309?311?...?309?616?309?617

?308?307?...?1?1?2?...?308?95172

n?1【解答】（1）P应设在第台的位置；（2）95172

2

【例18】 不等式x?1?x?2?7的整数解有 个．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】3星 【题型】填空

【关键词】第17届希望杯培训试题

【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，x?1?x?2?7的整数解表示数轴上到?1和

2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有?2、?1、0、1、2、3共六个．

【解答】6

【例19】 一共有多少个整数x适合不等式x?2000?x?9999. 【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】分类讨论

【解析】零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：

（1）当x?2000时，原不等式变形为：x?2000?x?9999， 进而得：x?5999.5，即2000?x?5999.5，共有4000个整数适合；

（2）当0?x?2000时，原不等式变形为：2000?x?x?9999，而2000?9999恒成立， 所以又有2000个整数适合.

（3）当x?0时，原不等式变形为2000?x?(?x)?9999，x??3999.5， 即?3999.5?x?0，共有3999个整数适合.

综上所得共有9999个整数适合不等式x?2000?x?9999.

【解答】9999

【例20】 彼此不等的有理数a，，bc在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果a?b?b?c?a?c，那么A，

B，C的位置关系是_____．

【考点】绝对值最值探讨 【难度】4星