数学与应用数学 毕业论文 整数环上不可约多项式的判定1230(3)

一般的判定方法

f(z)?anzn?an?1zn?1?...?a1z?a0,ai??,i?0,1,...,n,an?0适合

(1) a0?anrn?an?1rn?1?...?a1r(或在圆z?r上,有a0?f(z)?a0); (2)akRk?anRn?...?ak?1Rk?1?ak?1Rk?1?...?a1R?a0,1?k?n?2(或在圆

z?R上,有akzk?f(z)?akzk):

(3) a0的每一个两整数因子分解中或至少有一个因子的绝对值?r,或两个的绝

对值均?Rr, 则f(z)在有理数域上不可约.

2.7已知f?x?没有有理因式的判别法

文献[1]中的定理2.8.4 ,告诉我们如何去求一个多项式f(x)的有理根.当然,若是f(x)次数是2或3的多项式,我们可以应用其是否有有理根来判别其是否可约,即判定其是否有一次有理因式.那么,对于已知f(x)无次数不大于r的有理式的情形,前人亦对此做了深入的研究,得到结果如下:

定理2.7.1 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,若f?x?没有?o?f?x???r的有理因式,并能找到一个素数p,使得: ?1?p至少不整除an,an?1,...,an?r中的一个; ?2?pai,i?0,1,2,...,n?r?1;?3?p2 a0,那么

[7]

f?x?在有理数域上不可约.

定理2.7.2 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,若f?x?没有?o?f?x???r的有理因式,并能找到一个素数p,使得: ?1?p至少不整除a0,a1,...,ar中的一个; ?2?pai,i?r?1,r?2,...,n;?3?p2 an,那么f?x?在有理数域上不可约.

应用这种方法时,对于没有不小于2次的有理因式的判定,通常要应用计算机来得到.但是如果应用计算机,那么用克罗内克(Kronecker)的方法就直接得到其在有理数域上是否可约.

[7]

2.8 模p约化判别法(p为素数)

[8]

随着数学发展中抽象代数的出现.亦有人运用抽象代数的知识对整系数多项式进行模p约化处理,再研究多项式,得到了整系数多项式在有理数域上不可约多项式的判别方法.怎一看,有点类似艾森斯坦(Eisenstein)判别法,其实不然.

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定理2.8.1 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?2?是一个整系数多项式, p是素数,p an?1,pai,i?0,1,2,...,n?2,p2 a0,p an?1?b,其中

b|

a0an,则f?x?在有理数域上不可约. p定理2.8.2 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?2?是一个整系数多项式, p是素数,p a1,pai,i?2,3,4,...,n,p2 an,p (a1?b),其中

b|

a0an,则f?x?在有理数域上不可约. p定理2.8.3 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?2?是一个整系数多项式, p是素数, p aj,?0?j?n?,pai,(i?j),p2 a0,an,p ?aj?b?,其中b|

a0an,则f?x?在有理数域上不可约. p定理2.8.4 f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0?a?0,n?3?是一个整系数多项式, p是素数,

1?i?n?2,p ai,ai?1, paj(j?i,j?i?1),p2 a0,an,p ?ai?b?,

p?ai?1?b?其中b|

a0an,f?x?无有理根,则f?x?在有理数域上不可约. p例7 判断以下多项式在有理数域上是否可约:

?1?f1?x??5xn?7xn?1?22 ?n?2?; ?2?f2?x??7xn?2000x5?7 ?n?6?;

?3?f3?x??5?97x99?2008x100?5xn ?n?100?.

解 ?1?11 an?1?7,11a0,a1,a2,...,an?2,112 a0??22b|

,11 ?7?b?,其中

5???22???10,由定理2.8.1可知, f1?x?在有理数域上不可约. 11 ?2?7 a5?2000,7|a0,a1,...,a4,a6,...,an,72 a0,an,7 ?2000?b?,其中

b|

7?7?1,由定理2.8.3, f2?x?在有理数域上不可约. 729

一般的判定方法

?3?5 a99?97,a100?2008,5整除其他各项系数

52 a0?5,an?5,5 ?97?b?,?2008?b?,

其中b|

5?5?1,因为f3?x?的系数全为正数,所以f3?x?的有理根只可能为负数,52v设,?u,v??1,u?0,v?0是f3?x?的有理根,则 uu|5,v|5,u?1,5,v??1,?5,v11????1,?5,?,?c???1,?5,??, u55??容易验证

f3?1?均不是整数,所以, f3?x?无有理根,由定理2.8.4, f3?x?在有理1?c数域上不可约.

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第三章 特殊多项式的判定方法

在数学中,能够找到一个简便的方法去解决问题是最好的,对于不可约多项式的判定也一样.前人在研究多项式的同时,对一些特殊的多项式的不可约的判定,发现了有一些方法,应用较为方便,现将其列于此,供参考.

3.1 奇次多项式的判定方法

定理3.1 对于整系数多项式f?x??a2n?1x2n?1?a2nx2n?...?a2x2?a1x?a0若存在素数p使

[9]

?1?p|an?1,an?2,...,a2n;?2?p2|a0,a1,...,an;?3?p a2n?1;?4?p3 a0. 那么,f?x?在有理数域上不可约.

例8 已知多项式f?x??73x3?2x2?8x?4,证明f?x?在有理数域上不可约.

分析 可以验证不满足艾森斯坦因(Eisenstein)判别法的条件,但可找到素数

p?2,满足定理3.1的四个条件,所以f?x??73x3?2x2?8x?4在有理数域上不

可约.

3.2 系数为1的多项式的判定方法

定理3.2

[10]

已知fn?x???xi,n??,n?2,当n为奇数时, fn?x?在有理

i?0n数域上可约;当n为偶数时,如果n?1为合数,则fn?x?在有理数域上可约,如果

n?1为素数,则fn?x?在有理数域上不可约.

推论3.2.1 已知fn?x?????1?xi,n??,n?2,当n为奇数时, fn?x?在

i?0ni有理数域上可约;当n为偶数时,如果n?1为合数,则fn?x?在有理数域上可约,如果n?1为素数,则fn?x?在有理数域上不可约.

3.3 次数小于4的情形

文献[1]中的定理2.8.4知道如何去判定一个多项式的有理根问题.对于次数为2或3的多项式,若可约,则必有有理根;反之亦然.所以,可以通过判断多项式的有理根的情形来判断次数为2或3的多项式的可约性.当然对于这类多项式

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特殊多项式的判定方法

可应用定义法,在做习题的过程中,应用不可约多项式的定义,发现有些是可以直接判别出来的,这便为我们省去了不少工夫.

3.3.1形如ax2?bx?c的判定方法

定理3.3.1 对于整系数多项式f(x)?ax2?bx?c,如果abc为奇数,则f(x)在有理数域上不可约.

证明:若f(x)可约,则存在整数a1,b1,a2,b2,使得

f(x)?(a1x?b1)(a2x?b2)

?a1a2x2?(a1b2?a2b1)x?bb12

即有

a?a1a2,b?a1b2?a2b1,c?bb12

由abc为奇数,可得a,b,c,为奇数故a1,b1,a2,b2为奇数从而a1b2,a2b1为奇数 进而a1b2?a2b1为偶数,这与b?a1b2?a2b1为奇数矛盾.得证. 3.3.2形如x3?ax2?bx?c的判定方法

定理3.3.2 对于整系数多项式f?x??x3?ax2?bx?c,如果ac?bc为奇数,则f?x?在有理数域上不可约.

3.3.3情形一般化 定理 3.3.3

[11][3]

若f(x)?xn?axn?1?b,其中a,b,n??,n?1,b为素数,

a?b?1,则f(x)在有理数域上不可约.

定理 3.3.4

[11]

若f(x)?xn?axn?2?b,其中a,b,n??,n?2,b为素数,

,无整数根,则在上有理数域上不可约. a?b?1,b (a?1)定理 3.3.5

[11]

若f(x)?xn?axn?1?bxn?2?c,其中a,b,c,n??,n?2,c为

素数,c (b?1),f(x)无整数根,则f(x)在有理数域上不可约.

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