数学与应用数学 毕业论文 整数环上不可约多项式的判定1230(2)

琼州学院本科毕业论文

第二章 一般的判定方法

2.1 克罗内克（Kronecker）判别法

克罗内克（Kronecker）判别法包含了较艾森斯坦(Eisenstein)判别法更一般的判别有理数域上不可约多项式的方法.但是由于这种做法比较麻烦,其实用价值依赖于计算机技术,所以文献[1]也只是点到而已,并没有做详细介绍.现在这里介绍一下.

定理2.1

[2]

[2]

设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,则在

有取步下f(x)能分解成不可约多项式的乘积.

文献[2]中给出的方法不仅将次数大于1的整系数多项式分解为有理数域上的不可约多项式的乘积的一般方法,而且还包括了有理数域上不可约多项式的判别.

例1 证明f(x)?x5?1在有理数域上不可约

5证明: s?2?,取a0??1,a1?0,a2?1,

2则 f(?1)?0,f(0)?1,f(1)?2

从而 f(?1)的因子是0,f(0)的因子是1,f(1)的因子是1,2, 故令g(?1)?0,g(0)?1,g(1)?1;g(?1)?0,g(0)?1,g(1)?2 应用插值多项式知:

g1(x)?0?(x?1)(x?1)(x?1)(x?0)12??(x?x?2)

(0?1)(0?1)(1?1)(1?0)2(x?1)(x?1)2(x?1)(x?0)??x?1

(0?1)(0?1)(1?1)(1?0)g2(x)?0?由带余除法可知g1(x)不整除f(x),g2(x)不整除f(x), 从而f(x)在有理数域上不可约.

2.2 艾森斯坦(Eisenstein)判别法

[1]

在现行课本上有理数域上不可约多项式的判定方法介绍的是经典的艾森斯

3

一般判的定方法

坦(Eisenstein)判别法.文献[1]还点到了克罗内克（Kronecker）判别法,却没有做详细介绍.艾森斯坦(Eisenstein)判别法人们研究的早,也是现行的有理数域上不可约多项式的判定方法中最为实用的方法.正是由于这种方法出现的早, 人们在长期对艾森斯坦(Eisenstein)判别法的深入学习与研究时,得出了些许与其不一样的判别法,这里介绍其中实用的几种.

2.2.1 艾森斯坦(Eisenstein)判别法直接判别法

定理2.2.1 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式,若有一个素数p使得

(1) p不整除最高次项的系数an; (2) p整除其他各项的系数; (3) p2不整除常数项a0.

那么多项式f?x?在有理数域上不可约.

2.2.2 艾森斯坦(Eisenstein)判别法间接判别法

文献[1]中也介绍了分圆多项式不能直接应用艾森斯坦(Eisenstein)判别法,而做了适当的变形之后便可以应用了.我们在做练习的时候也发现有些多项式是不能直接用艾森斯坦(Eisenstein)判别法来判别的,而直觉告诉我们,我们现在对有理数域上不可约多项式的判定方法也只有艾森斯坦(Eisenstein)判别法和定义法.可是其系数高,一般不可能用定义法去判定,所以也只能是用艾森斯坦(Eisenstein)判别法来判别,可一看不能直接应用,其不满足定理的条件,想到多项式的等价,我们可以对其做适当变形,这样便有了艾森斯坦(Eisenstein)判别法间接判别法.

定理2.2.2 有理系数多项式f?x?在有理数域上不可约的充分必要条件是:对于任意的有理数a?0和b,多项式f?ax?b?在有理数域上不可约. 例2

[3]

设p是素数, a是整数, f?x??axp?px?1,且p2?a?1?.证明, f?x?没有有理根.

证明: 由于p?1,若证得f?x?在有理数域上不可约,则没有有理根,令x?y?1,代入f?x?得到

g?y??f?x?1??a?y?1??p?y?1??1

p1p?12p?2p?1...?Cp?a?y?Cy?Cy?y?1?pp???p?y?1??1

p2p?2?ayp??pa?yp?1?aCpy?...??a?1?py??a?p?1?

4

琼州学院本科毕业论文

?bpyp?bp?1yp?1?bp?2yp?2?...?b1y?b0

2......其中bp?a,bp?1?pa,bp?2?aCp,,b1??a?1?p,b0?a?p?1??a?1??p.

由于

1) pbi?i?0,1,2,...,p?1?;

2) p bp,否则,若有pbp,即pa,因为p2?a?1?,所以

2a?p2t?1.故有p1与p是素数矛盾. a?1?pt?,??t?3) p2 b0,否则,若有p2b0,即p2?a?p?1?,故有a?p?1?p2v?v???,也即有

?a?1??p2v?p,从而有p2p,矛盾.

于是,由艾森斯坦因(Eisenstein)判别法,有g?y?在有理数域上不可约,从而

f?x?在有理数域上不可约,因此f?x?没有有理根.

2.2.3 由艾森斯坦(Eisenstein)判别法派生的一种判别方法

这种方法由艾森斯坦(Eisenstein)判别法派生的,并且是与艾森斯坦(Eisenstein)判别法相类似的方法,它能判定用艾森斯坦(Eisenstein)判别法的所不能判定的一类有理数域上的不可约多项式.

定理2.2.3 设f?x??anxn?an?1xn?1?...?a1x?a0是一个整系数多项式.若有一个素数p,使得 (1) p不整除常数项a0; (2) p整除其他各项的系数; (3) p2不整除最高次项系数an. 那么多项式f?x?在有理数域上不可约.

2.3 定义法

做习题时,在无法找到艾森斯坦(Eisenstein)判别法中的素数p的情形下,常用反证法.

例3 设a1,a2,...,an是n个不同的整数,证明f?x??(x?a1)(x?a2)...(x?an)?1在有理数域上不可约.

证明:若f(x)可约,则存在整系数多项式u(x),v(x),使f(x)?u(x)v(x).且

?o(u(x))??o(f(x)),?o(v(x))??o(f(x)),由f(ai)??1可得:

?u(ai)?1?u(ai)??1 或 ???v(ai)??1?v(ai)?15

一般的判定方法

于是, u(x)?v(x)是零多项式, u(x)??v(x),f(x)??u2(x),此时右端首项系数为?1,矛盾,故f(x)在有理数域上不可约.

2.4 Perron 判别法

在不能应用艾森斯坦(Eisenstein)判别法时,可以用这种判别法.

定理2.4设f?x??xn?an?1xn?1?...?a1x?a0,a0?0是一个整系数多项式,如果an?1?1?an?2?an?3?...?a1?a0,则f(x)在有理数域上不可约.

例3 f?x??x5?4x4?x2?1在有理数域上不可约.显然,找不到素数p,使得

f(x)满足艾森斯坦因判别法的四个条件,但是f(x)满足Perron判别法的条件.

[4]

故由Perron判别法可知f(x)在有理数域上不可约.

2.5 Brown判别法

在不能应用艾森斯坦(Eisenstein)判别法时,还可以用这种判别法.

[4]

定理2.5 设f?x?是n次整系数多项式,令

S(f)?...,f??1?,f?0?,f?1?,..., N1表示S(f)中1的个数, Np表示S(f)中

??的素数的个数,如果Np?2N1?n?4,则f?x?在有理数域上不可约.

例4 判断多项式f?x??2x3?x2?x?1在有理数域上是否可约.

分析:显然也找不到素数p,使得f(x)满足艾森斯坦(Eisenstein)判别法的条件,也不满足Perron判别法的条件.故不能用森斯坦(Eisenstein)判别法并且也不能用Perron判别法来判别f(x)是否可约.但f(x)满足Brown判别法的条件.

解:由于

f?0???1, f?1??1, f??1???5, f?2??13,f??2???23, f?3??47... 显然, Np?4,N1?2,故Np?2N1?8?4?3,由Brown判别法知,f?x?在有理数域上不可约.

2.6复数性质判别法

我们知道在复数域上只有一次不可约多项式,有人试着将复数域与有理数域联系起来研究多项式的不可约性,得到如下一些结果.

定理2.6.1 设f?x?是n次整系数多项式, 令

6

[5]

琼州学院本科毕业论文

S(f)?...,f??1?,f?0?,f?1?,...,

??N1表示S(f)中1的个数, Np表示S(f)中的素数的个数,

x0?a?mbi, f?x0??1,其中a,m,b??, m?1, b?0.

?1?若mb2?2, 2N1?Np?n?2,则f?x?在有理数域上不可约. ?2?若mb2?3, 2N1?Np …… 此处隐藏：3056字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……