函数对称性问题

简析函数对称性问题

函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。 命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x?b?a对称。 2特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。 推论1、 函数y?f(a??x)与函数y?f(b??x)的图象关于直线x?b?a对称 2?ab证明：?y?f(a??x)?f[?(x?)], y?f(b??x)?f[??(x?)]

??所以 ，将函数y?f(?x)的图象向左平移|数y?f(??x)的图象向右平移|a?|个单位得y?f(a??x)的图象;将函

b?|个单位得函数y?f(b??x)的图象,而

y?f(?x)与y?f(??x)的图象关于 y轴对称，可得两函数图象关于直线

x?b?ab?a对称。记忆技巧：令 a??x?b，即对称轴方程。 ?? x，易得x?2?2?命题2、 若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线 x?a?b对称。反之亦然。 2推论2、 若函数y=f(x) 对定义域中任意x均有f(a+mx)=f(b-mx)，(m?0)，则函数

y=f(x)的图象关于直线x?a?b对称。反之亦然。 2命题3、 若函数y=f(x)对定义域中任意x均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点

(a?bc,)成中心对称图形。 22下面举例说明其应用。

[例1] 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称

解：由命题1知，两函数图象关于x?3?1?1, 即关于直线x=1对称。 2[例2] 若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0 有_____个根，两方程的所有的根之

和为______

解：设y1?f(3?2x),y2?f(1?2x),由推广1知，两函数图象关于x?1?31??2?22对称，故两函数图象与x轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为?1?6??3. 2?[例3] 函数y=f(x)对一切x满足f(x+a)=f(b-x)

（1） 若方程f(x)=0恰有2n(n?N)个根，则这些根的和为多少？

1

（2） 若方程恰2n+1(n?N)个根，则这些根的和为多少？ 解：由命题2知，y=f(x)图象关于x??a?b对称。 2a?b对称，2（1） 若方程f(x)=0恰有2n个根时，由于方程的根在x轴上对应点关于x???a?b,故S?(a?b)?所以，xm?xm2n?n(a?b). 2a?b ，另外2n个根在x2a?b1(2n?1)?(a?b)轴上对应点关于 x? 对称，故S2n?1?(n?)?(a?b)?.

2221?x[例4]函数f(x)?，（1）证明函数的图象关于(-1,-1)对称。（2）求

1?x（2） 若方程f(x)=0恰有2n+1个根时，则方程必有一根为x?f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)的值. 解： 因为f(x)?1?x21，由f(x)?的对称中心（0，0），平移可得??1?1?xx?1xf(x)?1?x 对称中心(-1,-1)，由命题3知，f(x)+f(-x-2)=-2 , 1?x则 f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)=3?[f(?2)?f(0)]?3?(?2)??6.

补充，供参考

1、函数自身对称性

命题1 函数y?f(x)的图像关于直线x＝a对称的充要条件是f(a?x)?f(a?x)或

f(x)?f(2a?x)。证明（略）

推论 函数y?f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)?f(?x)。

命题2 函数y?f(x)的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f(x)?f(2a?x)?2b 证明（略）

推论 函数y?f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)?f(?x)?0 偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。

命题3 （1）若函数y?f(x)的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对

称（a?b），则y?f(x)是周期函数，且2a?b是其一个周期。

2

证明：函数y?f(x)的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则

f(2a?x)?f(?x)?2c，

f(2b?x)?f(x)?2c，所以

f[2(a?b)?x]?f([2a?(?2b?x)]

?2c?f[?(?2b?x)]?2c?f(2b?x)?2c?[2c?f(x)]?f(x)，所以2a?b是它

的一个周期。

（2）、 若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。

证：因为函数的对称轴为x=m，x=n (m≠n)， 则 f(m?x)?f(m?x) (1) ，

f(n?x)?f(n?x) (2) ， 分别将x=m-x，x=n-x代入(1) (2)，

则

有

f(?2m?x) f，xf(2n?x)?f(x) ，则

f[x?2(m?n)]?f(2m?x?2n)?

f(2n?x)?f(x)， 所以y?f(x)是周期函数，周期为2(m-n)。

（3）若函数y?f(x)的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（a?b），则y?f(x)是周期函数，且4a?b是其一个周期。

证明：因为函数y?f(x)的图像关于点A（a，c）成中心对称，

所以

f(x)?f(2a?x)?2c,用2b?x

代

x得：

f(2b?x)?f?2a?(2b?x)??2c(*)又因为函数y?f(x)的图像关于直线x?b成轴对称，所以f(2b?x)?f(x)代入（*）得：

f(x)?2c?f?2(a?b)?x?(**),用2(a?b)?x代x得 f?2(a?b)?x??2c?f?4(a?b)?x?代入（**）得：

f(x)?f?4(a?b)?x?,故y?f(x)是周期函数，且4a?b是其一个周期。

3

2. 不同函数对称性

命题4 函数y?f(x)与y?2b?f(2a?x)的图像关于点A(a,b)成中心对称。

证明：设点P(x0,y0)是y?f(x)图像上任一点，则y0?f(x0)。点P(x0,y0)关于点

A(a,b)的对称点为P'(2a?x0,2b?y0)，此点坐标满足y?2b?f(2a?x)，显然点P'(2a?x0,2b?y0)在y?2b?f(2a?x)的图像上。

同理可证：y?2b?f(2a?x)图像上关于点A(a,b)对称的点也在y?f(x)的图像上。

推论 函数y?f(x)与y??f(?x)的图像关于原点成中心对称。

命题5 函数y?f(x)与y?f(2a?x)的图像关于直线x?a成轴对称。

证明 设点P(x0,y0)是y?f(x)图像上任意一点，则y0?f(x0)。点P(x0,y0)关于直线x?a的对称点为P'(2a?x0,y0)，显然点P'(2a?x0,y0)在y?f(2a?x)的图像上。

同理可证：y?f(2a?x)图像上关于直线x?a对称的点也在y?f(x)图像上。

推论 函数y?f(x)与y?f(?x)的图像关于直线y轴对称。

命题6 ①函数y?f(x)与a?x?f(a?y)的图像关于直线x?y?a成轴对称。

②函数y?f(x)与x?a?f(y?a)的图像关于直线x?y?a成轴对称。

现证命题6中的②

设点P(x0,y0)是y?f(x)图像上任一点，则y0?f(x0)。记点P(x0,y0)关于直线

x?y?a的对称点P'(x1,y1)，则x1?a?y0,y1?x0?a，所以

x0?a?y1,y0?x1?a代入y0?f(x0)之中得x1?a?f(a?y1)。所以点P'(x1,y1) 4

在函数x?a?f(y?a)的图像上。

同理可证：函数x?a?f(y?a)的图像上任一点关于直线x?y?a的轴对称点也在函数y?f(x)的图像上。故命题6中的②成立。

推论 函数y?f(x)的图像与x?f(y)的图像关于直线x?y成轴对称。

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