保险精算第二版习题及答案(3)

来源：网络收集时间：2026-05-23

导读： 17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( ) 22 A. pxqxv?b?e? B. pxqxv?b?e? 22 C. pxqxvb?e22?2? D. v?bq22x?e2px? 解： P(Z?bv

17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )

22 A. pxqxv?b?e? B. pxqxv?b?e? 22 C. pxqxvb?e22?2? D. v?bq22x?e2px?

解：

P(Z?bv)?qx,P(Z?ev)?pxP(Z2?b2v2)?qx,P(Z2?e2v2)?pxE(Z)?bvqx?evpxE(Z2)?b2v2qx?e2v2pxVar(Z)?E(Z2)??E(Z)??b2v2qx?e2v2px??bvqx?evpx??v2qxpx(b?e)222

第五章：年金的精算现值

练习题

1．设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e精算现值 ax 。

?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算

ax????1?vt0?fT(t)dt??2??01?e?0.05t0.015?e?0.015tdt?15.38 0.05（1）?；（2）ā???50。试求：

x 2．设 ax?10, ax?7.375, VaraT 。

??1??a?Axx??1?10??Ax2??2??1?14.75??2Ax?1?2?ax?Ax??1212?VaraT?2(Ax?(Ax))?50?2(2Ax?(Ax)2)

???????0.035???Ax?0.65?2?Ax?0.48375??

3．某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

4．某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。

??23:36解：2000a其中

??23:362000a??23?R? ?R37|a??a37|23??23:36al23?k135k??vkp23??v??vl23?kl23l23k?0k?0k?0kk3535 ? ?37|11111(l23?l24?l?l???l58)2526l231.06(1.06)2(1.06)3(1.06)35N23?N59D2337??23?a??23?a??23:37?v3737p23a??60?a82k82k??60E23ak?37

23?kl1 ??vkp23??v23?k?l23l23k?37k?37 ? ??vlk8211111(l60?l60?l?l???l)26236355105l231.06(1.06)(1.06)(1.06)N60D23查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。

（1）终身生存年金。

(12)??35??35??(12)] 1000*12a?12000[?(12)a其中

d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12 12

l35?k171k??35??vkp35??va??vl23?kl35l23k?0k?0k?0kk7171 ? ?11111(l35?l36?l?l???l105) 3738l351.06(1.06)2(1.06)3(1.06)70N35D35若查90-93年生命表换算表则

??35?aN351985692??15.695458 D35126513.8

5．某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。

(12)(12)??55?1解：250*12a55?250*12(a??55??(12)?1] )?250*12[?(12)a1212其中

d?i?0.0566037741?i(12)12?i?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12l35?k171k??55??vkp55??va??vl23?kl35l23k?0k?0k?0kk7171 ? ?

11111(l35?l36?l?l???l105) 3738l351.06(1.06)2(1.06)3(1.06)70N35D35

6．在UDD假设下，试证： (1)

n|??x(m)??(m)n|a??x???m?nEx 。 a??x:n??(m)a??x:n???m?(1?nEx) 。 (2) a(m)??x:n? （3）ax:n?a

(m)(m)1(1?nEx) 。 m13

7．试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。

（1）解：1200a30?N31D 30（2）1000a(2)30?1000(?a?(2)30?12)?1000[?(2)?a?35??(2)?12] 其中

d?i1?i?0.056603774?2??1?i(2)?2???1?i?i(2)?0.059126028?2??1?d(2)?(12)2???1?d?d?0.057428276

?(2)?idi(2)d(2)?1.000212217(2)?i?i(2)?i(2)d(2)?0.257390809?a?N3030?D 30

（3）1000a(4)30?1000(?a?(4)30?14)?1000[?(4)?a?30??(4)?14] 其中

d?i1?i?0.056603774?4??1?i(4)?4???1?i?i(4)?0.058695385?4??d(4)?1?4???1?d?d(4)?0.057846554

?(4)?idi(4)d(4)?1.000265271?(4)?i?i(4)i(4)d(4)?0.384238536?a?N3030?D 30（4）1000a(12)30?1000(?a?(12)30?112)?1000[?(12)?a?30??(12)?112] 其中

d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid(12)12

??30?aN30 D30

8．试证：

??x (1)a(m)??i(m)ax ax:n 。

??x:n? (2)a(m)?i(m)??x (3) limam??(m)?ax 。 1 。 2??x? (4) ax?a 9．很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64

岁为止。到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。

??x?10， 10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 a2??x?6，i?a1 ，求Y的方差。 24 11．某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。

12．某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。

(4)??x????17.287，Ax?0.1025。已知在每一年龄年UDD假设成立，则a 13. 给定a是（）

(4) A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82

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