概率统计期末试卷（含答案）(2)

《概率论与数理统计》课程考试试卷A，适用专业：文理科各专业

五、证明题（共5分）

设X1,X2,?,X9是取自正态总体X的简单随机样本,

Y11?6(X11???X6), Y2?3(X7?X8?X9), S2?12(Y2?9(X21?Y2)i?Y2), Z?i?7S 证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

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《概率论与数理统计》课程考试试卷A，适用专业：文理科各专业

《概率论与数理统计》试卷（A）标准答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. C 2. D 3. B 4.A 5.A 二、填空题（每格2分，共16分） 1. 0.5 2.X~B(3,0.2) 3. 3 4.

X??01n11 5. 6. ? 7. k? 559n?18. U??/n

三、1、解：（1）分别用A1,A2记任取一球是属于第一箱和第二箱的；用B记任取一球是白球，由全概率公式，

P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?1111????0.35 — 5分 2522?5 — 10分 7（2）由贝叶斯公式，P(A2B)?P(A2)P(BA2)P(B)2、解：（1）因为P(X?1,Y?0)?0.1?0.2?0.5?0.4?P(X?1)P(Y?0), 所以X，Y不独立;——3分

（2）P(X?Y)?P(X?1,Y?1)?P(X?2,Y?2)?0.05?0.1?0.15;— 6分 （3）P(X?1|Y?2)?P(X?1,Y?2)0.357??，

P(Y?2)0.459P(X?2|Y?2)?1?72?。—— 9分 99（4）E(X?Y)?2.55。 —— 12分 3、解：（1）由??f?x,y?dxdy?k?R2??0e?xdx???0e?2ydy?1,从而得k?2。——4分

?e?x，x?0，?2e?2y，y?0，（2）fX?x??? fY(y)?? —— 8分

?0，x?0，?0，y?0．（3）P(Y?X?1)??10dx?1?x02e?(x?2y)dy?(1?e?1)2—— 12分

四、1、解：设X表示120个终端同时使用打印机的终端个数,则X~B(n，p),其中

n?120,p?357,则EX?np?6，DX?np(1?p)?,——3分 6010第 7 页 共 9 页 7

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由De Movire-Laplace中心极限定理得,

P(X?10)?P(X?65710?10?65710)?1?P(X?65710?410) 57?1??(41057)?1??(1.68)—— 6分

2、解： 因 E(X)??2???x?1?e?(x??)/?dx????—— 3分 1e?(x??)/?dx??2?2???2?2——6分

E(X)??令

???x2???????X?1n2——8分 ?22???2???2??n?Xii?1?解之得?????1n2Xi?X2,??X??ni?11n2??X?Xi?X2,??ni?11n2Xi?X2,即?,?的估计量分别为 ?ni?11n2Xi?X2 —— 10分 ?ni?13、解 （1）由题意,须在显著性水平??0.05下检验假设：

22H0:?12??2?H1:?12??2

这是一个双边检验问题,取检验统计量为

2s1F(n1?1,n2?1)?2 —— 2分 s2??C?F?F(n?1,n?1)或F?F(n?1,n?1)则拒绝域为?? ?12?121?22??22?8?10?6,s2?7.1?10?6,经计算得F?1.13, 已知n1?n2?6,??0.05, s11已知得F0.025(5,5)?7.15,F0.975(5,5)??0.14。 —— 5分

7.15由于F0.975(5,5)?F?F0.025(5,5),即F没有落在拒绝域内,故接受H0,即在显著性水

2平??0.05下,可以认为?12??2。 ——7分

（2）此时,须在显著性水平??0.05下,检验假设

H0:?1??2?H1:?1??2

2由上面的讨论知,可以认为?12??2,故可取检验统计量为

x?y t(n1?n2?2)? ——9分

11sw?n1n2第 8 页 共 9 页 8

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拒绝域为

C???|t|?t??(n1?n2?2)??

2?2x?0.141,y?0.1385,计算得s2(n?1)ss212?(n2?1)2w?n?7.55?10?6——12分 1?n2?2得t0.025(10)?2.2281,由于|t|?1.58?2.2281

故接受H0,可以认为均值无显著差异。 —— 14分 五、证明题

证明： 因Y2?13(X7?X8?X9),则Y2是简单随机样本X7,X8,X9的均值，而S2?192S22?(X?Y2i2),根据正态总体样本方差的性质，2~?2(2)—— 2分

i?7?Y1?Y2?~N(0,1)，Y1?Y2与S2独立，—— 4分

2所以Z?2(Y1?Y2)S服从自由度为2的t分布。 ——5分

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