（点集拓扑学拓扑）知识点(4)

8.常在一个集合关系式的两边同取f、f9．常用反证法 复习参考：

?1、闭包等

一. 判断题(每小题3分)

1. 集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( )

2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )

3. 实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( ) 4. T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( ) 5. 平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ ） 6. 从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ ） 7. 拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（ ） 8. （X，T）为平庸空间，Y?X，则子空间Y的拓扑为 {Y，?}。（ ）

二．填空题：(每空格4分)

1. X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为_____________________________ 包含3的所有闭集为_______________________________ 包含3的所有邻域为_______________________________ 设A={1,2,3,4,5}

则A的导集为________________________________ A的闭包为___________________________________

2． 设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=______________

三.证明题(52分):

1. 设X有拓扑T1,T2,…Tn,则∩Ti也是拓扑. 2. 度量空间中收敛序列的极限是唯一的. 3. 设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则 Bx={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基.

4. 在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)

5. 设f:X?Y的连续映射,X为道路连通空间,则f(X)也为道路连通空间.

复习参考答案：

一.判断题(每小题3分)

1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × )

2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ )

3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7.拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（ × ） 8.（X，T）为平庸空间，Y?X，则子空间Y的拓扑为 {Y，?}。（ √ ）

二．填空题：(每空格4分)

1.X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为Z1,Z2,Z3 包含3的所有闭集为Z1,Z4/,Z5/,Z6/,... 包含3的所有邻域为Z1,Z2,Z3,{1}?Z3 设A={1,2,3,4,5} 则A的导集为{1,2,3,4} A的闭包为{1,2,3,4,5} 2.设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=? 三.证明题(52分):

1. 设X有拓扑T1,T2,...Tn,??in?1Ti也是拓扑. 证:

(1)?X,??Ti,i?1,2,...n,?X,???in?1Ti(2)?A,B??in?1Ti,?A,B?Ti,i?1...n.?A?B?Ti,i?1...n,?A?B??in?1Ti

~~n~A?Ti,i?1...~A??i?1Ti(3)?T??in?1Ti,?T?Ti,i?1...n,??A?Tn,??A?T所以?in?1Ti也是拓扑.

2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.

证:设{xi}i?Z→x, {xi}i?Z→y,则B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?.

??对于B(x,ρ(x,y)/3),存在N1>0,当i>N1时有xi? B(x,ρ(x,y)/3) 对于B(y,ρ(x,y)/3),存在N2>0,当i>N2时有xi? B(y,ρ(x,y)/3) 取N=max{N1,N2},则当i>N时有xi? B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3) 与B(x,ρ(x,y)/3)∩B(y,ρ(x,y)/3)=?.矛盾 3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则

Bx={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基. 见P.82 定理2.6.7

4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)

证:设Y与实数空间R同胚.则仍有Y-{0,0}与R-{0}同胚.但Y-{0,0}有四个连通分支,而R-{0}却只有两个连通分支.而连通性是拓扑不变的,得到矛盾.所以Y与实数空间R不同胚.

5.设f:X?Y的连续映射,X为道路连通空间,则f(X)也为道路连通空间.

见P.129 定理4.5.2