（点集拓扑学拓扑）知识点(2)

(a,?)?[a,?),(??,a)?(??,a](a,b)?[a,b)?[a,b],(a,b)?(a,b]?[a,b]?(a,b)

根据定理4．1．5可见区间[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是连通的． 另一方面，假设E是R的一个子集，并且它包含着不少于两个点．如果E不是一个区间，则?a,b?R,a?b?[a,b]?E, 也就是说,存在a

则可见A和B都是E的非空开集，并且有A∪B=E和A∩B=?，因此E不连通. 综合以上两个方面，我们已经证明了：

定理4．2．1 设E是实数空间R的一个子集．E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间．

定理4．2．2设X是一个连通空间，f: X→R是一个连续映射．则f(X)是R中的一个区间．

因此，如果x，y∈X，则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t（即当f(x)≤f(y)时， f(x)≤t≤f(y)；当f(y)≤f(x)时，f(y)≤t≤f(x))，存在z∈X使得f(z)=t． 证明 这个定理的第一段是定理4．1．8和定理4．2．1的明显推论．以下证明第二段．设x，y∈X．如果f（x）＝f（y），则没有什么要证明的．现在设f（x）≠f（y），并且不失一般性，设f（x）＜f（y）．由于f（X）是一个区间，所以［f（x），f（y）］?f（X）．因此对于任何t，f(x)≤t≤f(y)，有t∈f(X)，所以存在z∈X,使得f（z）=t.

根据定理4．2．2，立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理．

定理4．2．3 ［介值定理］设f: [a，b]→R是从闭区间[a，b]到实数空间R的一个连续映射．则对于f（a）与f（b）之间的任何一个实数r，存在z∈［a，b］使得f(z)=r．

定理4．2．4[不动点定理]设f:[0，1]→［0，1］是一个连续映射．则存在z∈[0，1]使得f(z)=z

证明 如同数学分析中的证法那样,只须构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.

2 容易证明欧氏平面R中的单位圆周S?{(x,y)?R|x?y?1}是连通的.这是因

1222为如果定义映射f: R→R使得对于任意t∈R有f(t)=(cos2πt,sin2πt)∈S，则易于验证f是一个连续映射，并且f(R)＝S．因此 S是连通空间R在一个连续映射下的象，所以它是连通的．

11设点x?(x1,x2),?x?(?x1,?x2)?S称为点x的对径点．映射r：S?S使得任何

12111x∈S, 有r(x)=-x，称为对径映射．对径映射是一个连续映射，因为它是欧氏平面R到自

12R2?R2在单位圆周上的限制．身的反射l：其中，映射l定义为对于任何x?(x1,x2)?R,

有

l（x）＝-x，容易验证（请读者自行验证)是一个连续映射．

定理 4.2.5 [Borsuk-Ulam定理] 设f: S →R是一个连续映射．则在S中存在一对对径点x和-x，使得f(x)=f(-x)．

112

证明 (略)

我们已经知道n维欧氏空间R2是连通空间，下面进一步指出：

定理 4．2．6 n＞1维欧氏空间Rn的子集Rn-{0}是一个连通子集，其中0=（0，0，…，0）∈Rn．

证明 我们只证明 n＝2的情形．根据定理 4．1．9，R2中的子集(-∞，0)×R和（0，∞）×R都是连通的．由于

(0,?)?R?[0,?)?R?{0}?[0,?)?R?(0,?)?R

所以根据定理4．1．5，R中的子集A=［0，∞）×R-{0}是连通的；同理，子集 B=(-∞，0］×R-{0}是连通的．由于A∩B≠?以及A∪B=R-{0}，所以根据定理4. 1．6可见，R-{0}是连通的．

一般情形的证明类似，请读者自行补证.

定理4．2．6可以得到进一步的改善（参见习题第4题．）

定理4．2. 7欧氏平面R和实数空间R不同胚．

证明 假设R与R同胚，并且设f: R→R是一个同胚．因此对于连续映射

222222g?f|R2?{0}:R2?{0}?R

我们有g(R?{0})?R?{f(0)}．但根据定理4．2．6，而根据定理4．2．1，R2-{0}是连通的，R-{f(0)}是不连通的．这与定理4．1．8矛盾．

定理4．2．7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例．

定理4．2．4，定理4．2．5和定理4．2．7尽管简单但确有意思，特别是这几个定理都有高维“版本”，我们分别陈述如下：

n 定理 4． 2． 8 [Brouwer不动点定理] 设f：D?D是一个连续映射，其中D是

n

nn2n维球体．则存在z∈D使得f（z）= z．

nm 定理 4．2．9[Borsuk－Ulam定理]设f： S?R是一个连续映射，其中n≥m，则存在x∈S

n

使得f（x）=f（-x）．

nm 定理4．2．10如果n≠m，则欧氏空间R和R不同胚．这些定理的证明（除去我们已经证明过的情形）一般都需要代数拓扑知识，例如同调论或同伦论，请参阅有关的专门书

籍．

作业：P.121 4.

§4．3 连通分支

本节重点:掌握连通分支的定义.(即连通”类”的分法) 掌握连通分支的性质(定理4.3.1) 从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．

定义4．3．1设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x和y，我们则称点x和y是连通的．(注意:是点连通)

根据定义可见，如果x，y，z都是拓扑空间X中的点，则 （1）x和x连通（因为每一个单点集都是连通子集）； （2）如果x和y连通，则y和x也连通；（显然）

(3) 如果x和y连通，并且y和z连通，则x和z连通．（这是因为，这时存在X中的连通子集A和B使得x，y∈A和y，z∈B．从而由于y∈A∩B可见A∪B连通，并且x，z∈A∪B．因此x和z连通．）

以上结论归结为：拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系．

定义4．3．2 设X是一个拓扑空间．对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支．

如果Y是拓扑空间X的一个子集．Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支．

拓扑空间X≠?的每一个连通分支都不是空集；X的不同的连通分支无交；以及X的所有连通分支之并便是X本身．此外，x，y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通．

拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y．

定理4．3．1设X是一个拓扑空间，C是拓扑空间X的一个连通分支．则 （1）如果 Y是X的一个连通子集，并且 Y∩C≠?,?Y?C；

（2）C是一个连通子集； （3）C是一个闭集．

本定理中的条件（1）和（2）说明，拓扑空间的每一个连通分支都是X的一个最大的连通子集．

证明 （1）任意选取x∈ Y∩C．对于任何y∈Y由于x和y连通，故y∈C．这证明Y?C．

（2）对于任何x，y∈C，根据定义可见，存在X的一个连通子集Yxy使得x，y∈Yxy．显然Yxy∩C≠?，故根据（1），Yxy?C．应用定理4．1．7可知，C是连通的．

（3）由于C连通，根据定理4．1．5，C连通．显然，C?C?C??。所以根据（1），C?C,?C?C．从而C是一个闭集．

但是，一般说来连通分支可以不是开集．例如考虑有理数集Q（作为实数空间R的子空间）．设x，y∈Q，x≠y．不失一般性，设x＜y．如果Q的一个子集E同时包含x和y，令A=(-∞，r)∩E和B=(r，∞)∩E，其中r是任何一个无理数，x＜r＜y．此时易见A和 …… 此处隐藏：3836字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……