材料力学基本概念和公式 - 图文(3)

第六章 弯曲变形

第一节 挠曲线近似微分方程

1、挠度和转角：梁的横截面形心沿竖直方向的位移w称为挠度。变形后的轴线称为挠曲线。梁横截面对其原来位置转过的角度θ称为转角。在工程问题中，梁的转角一般很小，挠曲线是一条非常平坦的曲线，所以：

2、挠曲线近似微分方程：

??dwdxM(x)w???EI其中：EI称为梁的抗弯刚度。公式的使用条件：小变形和材料线弹性。

第二节 积分法求梁的弯曲变形 1、求梁变形的积分公式：

EIw???MEIw???Mdx?CEIw??(?Mdx)dx?Cx?D其中：C、D为积分常数，可根据位移边界条件和连续光滑条件确定。

2、积分法解题步骤：①建立坐标，x轴原点在梁最左边，取向右为正；②列弯矩方程；③建立挠曲线近似微分方程；④积两次分；⑤写出位移边界条件和连续光滑条件；⑥确定积分常数；⑦得挠曲线方程和转角方程。

3、位移边界与连续光滑条件：①固定铰支和可动铰支处，挠度为零； ②固定端处，挠度和转角均为零； ③连续光滑条件：即分段处挠曲轴应该满足连续和光滑，即w

左=

w右，

θ左=θ右。

第三节 叠加法求梁的弯曲变形

1、叠加原理:多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。叠加法的适用范围：应力不超过比例极限；小变形。

2、叠加法解题步骤：①分解载荷，画出每个载荷单独作用下的结构受力图；②画出结

11

构变形后挠曲线大致形状；③求出每个载荷单独作用下结构的位移；④将所有位移代数相加。

第四节 简单超静定梁

1、比较变形法解简单超静定梁：解除多余约束，代之以多余约束力；分析相当系统和原系统的变形，建立变形协调方程。

2、解题步骤：①判断超静定次数；②解除多余约束，建立相当系统；③列变形协调方程；④求变形；⑤求多余约束力。

第五节 梁的刚度条件 1、刚度条件：

wmax?[w]?max?[?]第七章 应力状态分析和强度理论

第一节 应力状态的概念

1、应力状态：构件内一点的受力状态，称为该点处的应力状态。 2、应力状态的表达方式：(a)应力单元体；(b)应力分量（9个分量）。

3、主平面与主应力：切应力为零的面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力。一

?般情况下，一点有三个互相垂直主平面，对应三个主应力，按代数排列， 1??2??3 4、应力状态分类：对应主应力不为零的个数，分别有单向应力状态，二向应力状态和三向应力状态。

第二节 平面应力状态分析 1、斜截面上正应力公式： 时针转为正。

2、最大正应力和最小正应力：

????x??y2??x??y2cos2???xsin2?其中，正应力以拉为正，切应力以使单元体顺时针转为正， α以x轴为开始位置，逆

?max??x??y??x??y?2???????x?min?22??12

2

3、最大正应力和最小正应力所在的方位：

2?xytan2?0???x??y4、主应力：最大和最小正应力就是主应力，另一个主应力为零。

5、应力圆：应力单元体与应力圆的对应关系：点面对应，转向相同，转角两倍。 6、纯剪切应力状态分析：

?1??，?1?0，?1???，主平面在45°方向。

第三节 三向应力状态

1、三向应力圆：三组特殊的平面应力对应于三个应力圆，可以由σ1、σ2、σ3两两画圆得到。任意斜截面的应力值位于阴影区内。

2、最大正应力和最大切应力：

第四节 广义胡克定律

1、广义胡克定律：复杂应力状态下应力与应变的关系。

2、主应变

?max??1?max??1??32?x?1[?x??(?y??z)]E?y?1[?y??(?z??x)]E?z?1[?z??(?x??y)]EE?2?1[?2??(?3??1)]E?3?1[?3??(?1??2)]E?xy?G?yz?yz??xyG?zx??zxG?1?1[?1??(?2??3)]第五节 复杂应力状态下的应变能

13

1、畸变能密度：体积不变、形状改变而储存的应变能密度。

1??vd?[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]6E第六节 强度理论

1、强度理论的概念：强度理论是关于“构件发生强度失效起因”的假说，利用简单应力状态实验结果，建立复杂应力状态强度条件。

2、两类破坏形式：脆性断裂和塑性屈服，因此有两类强度理论，断裂强度理论和屈服强度理论。

3、四种常用强度理论：

最大拉应力理论（第一强度理论） 最大伸长线应变理论（第二强度理论） 最大切应力理论（第三强度理论） 畸变能密度理论（第四强度理论） 4、强度理论的适用条件：

第一、二强度理论适用于脆性材料的脆性断裂，第三、四强度理论适用于塑性材料的塑性屈服。

5、相当应力：

?r1??1?r2??1??(?2??3)?r3??1??3?r4?1[(?1??2)2?(?2??3)2?(?3??1)2]26、复杂应力状态下的强度条件：

?r?[?]7、典型二向应力状态的相当应力：

14

?r3??2?4?2? ?

?r4???3?22

第八章 组合变形

第一节 拉伸（压缩）与弯曲的组合 1、拉伸（压缩）与弯曲组合时强度条件：

第二节 偏心压缩与截面核心

1、偏心压缩：偏心压缩可以通过作用力平移后成为压缩与弯曲的组合。

2、截面核心：当压力作用在环绕截面形心的一个封闭区域内时，截面上只有压应力，这个封闭区域称为截面核心。

第三节 弯扭组合 1、弯扭组合时强度条件：

第三强度理论：

第四强度理论：

2、合成弯矩：对于圆轴，可以将两个平面内的弯矩按矢量合成得到合成弯矩M。

2M?M2?MyzFNMmax?max???[?]AWM2?T2?[?]WM2?0.75T2?[?]W其中W为抗弯截面系数。上式的分子称为相当弯矩。

第九章 压杆稳定

第一节 细长压杆的临界压力

1、稳定性：构件保持原有平衡状态的能力。

15