2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育(二)之高等数学复试

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2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（二）之高等数学复试仿真模拟三套题（一） (2)

2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（二）之高等数学复试仿真模拟三套题（二） (7)

2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（二）之高等数学复试仿真模拟三套题（三） (13)

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2017年首都师范大学基础数学数学物理数学教育（二）之高等数学复试仿真模拟三套

题（一）

说明：本资料为2017复试学员内部使用，严格按照2017复试常考题型及难度全真模拟预测。 ————————————————————————————————————————

一、解答题

1． 如果在时刻t 以

的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，

那么

表示什么？ 【答案】表示在时间段[t 1，t 2]内向水池注入的水的总量。

2． 设是由方程所确定的函数，其中

具有

二阶导数且

。

（1）

；（2）

。

【答案】（1）由方程

，两边同时微分得

又

，则

。

（2）由（1）可得，

故

3． 设有一质量为m 的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为R=cv （其中C 为常数，v 为物体运动的速度，试求物体下落的距离s 与时间t 的函数关系。）

【答案】根据牛顿第二定律，

有关系式

并依据题设条件，

得初值问题

方程成

为

分离变量后积分

得

代入初始条件

，得

于是

有

积分

得

代入初始条

件

得

故所求特解（即下落的距离与时间的关系）为

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4． 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:

（l ）曲线在点（x ，y ）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;

（2）曲线上点P （x ，y ）处的法线与z 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.

【答案】（l ）设曲线方程为y=y （x ）

，它在点（x ，y ）处的切线斜率为y ＇，依条件，有y ＇=x 2此为曲线方程所满足的微分方程.

（2）设曲线方程为y=y （x ）.因它在点P （x ，y ）处的切线斜率为y ＇

，

故该点处法线斜率为.

由条件知PQ 之中点位于Y 轴上，故点Q 的坐标是（-x ，0）

，于是有，即微分方程为

二、计算题

5． 试举出具有以下性质的函数f （x ）的例子：

是f （x ）的所有间断点，且它们都是无穷间断点。

【答案】设

，显然f （x ）具有所要求的性质。

6． 求曲线

k

在与相应的点处的切线及法平面方程。

【答案】

与相应的点

为

，曲线在该点处的切向量为，于是所求切线方程为

法平面方程为

即

第 4 页，共 19 页 7． 计算球体体积时，要求精确度在2%以内.问这时测量直径D 的相对误差不能超过多少?

【答案】由知，

于是由

知

8． 利用等价无穷小的性质，求下列极限：

（1）

（2）

（n 、m 为正整数）； （3）

（4）

【答案】（1）

（2） （3）

注:在作等价无穷小的代换求极限时，可以对分子或分母中的一个或若干个因子作代换，但不能对分子或分母中的某个加项作代换。例如，本题中若将分子中的tanx 、sinx 均换成x ，那么分子成为0，得出极限为0， 这就导致错误的结果。

（4）

三、证明题

9． 利用全微分证明：两数之和的绝对误差等于他们各自的绝对误差之和.

【答案】设u=x ＋y ，则