双曲线专题复习

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双曲线专题复习讲义

★知识梳理★

1. 双曲线的定义

（1）第一定义：当||PF1| |PF2|| 2a |F1F2|时, P; 当||PF1| |PF2|| 2a |F1F2|时, P的轨迹不存在; 当|PF1 PF

2

| 2a F1F2时, PF1、F2

（2）双曲线的第二义

平面内到定点F与定直线l(定点F不在定直线l上)的距离之比是常数e(e 1)的点的轨迹为双曲线

22

22

与双曲线

xaxa

ybyb

1共渐近线的双曲线系方程为：

xa

22

yb

22

( 0)

22

22

与双曲线 1共轭的双曲线为

yb

22

xa

22

1

等轴双曲线x2 y2 a2的渐近线方程为y

x

，离心率为e

2

.；

★重难点突破★

1.注意定义中“陷阱”

问题1：已知F1( 5,0),F2(5,0)，一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为6，则双曲线的方程为 点拨：一要注意是否满足2a |F1F2|，二要注意是一支还是两支

x

2

|PF1| |PF2| 6 10

，

P的轨迹是双曲线的右支.其方程为

9

y

2

16

1(x 0)

2.注意焦点的位置

问题2：双曲线的渐近线为y

32

x，则离心率为

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点拨：当焦点在x轴上时，

ba

32

，e

2

；当焦点在y轴上时，

ab

32

，e

3

★热点考点题型探析★

考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义

[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)

【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的．

[解析]如图，以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴、y轴正向，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，则A（－1020，0），B（1020，0），C（0，1020）

设P（x,y）为巨响为生点，由A、C同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因B点比A点晚4s听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的双曲线

xa

22

yb

22

1上，

依题意得a=680, c=1020，

b

2

c a

22

1020

x

22

2

680

y

22

5 340 1

2

2

故双曲线方程为

6805 340

用y=－x代入上式，得x 680

x 680

5,y 680

5，∵|PB|>|PA|,

5,680

5),故PO 680

5,即P( 680

答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心680m处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】 1.设P为双曲线x

（ ）

B．12

C．123

D．24

2

2

y

12

1上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：|PF2|=3：2，则△PF1F2的面积为

A．63

解析：a 1,b ,c

,由|PF1|:|PF2| 3:2 ①

又|PF1| |PF2| 2a 2,② 由①、②解得|PF1| 6,|PF2| 4.

|PF1| |PF2| 52,|F1F2| 52,

2

2

2

PF1F2为直角三角形，

S PF1F2

12

|PF1| |PF2|

12

6 4 12.故选B。

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2.如图2所示，F为双曲线C:

x

2

916

焦点，双曲线C上的点Pi与P7 i i 1,2,3 关于y轴对称，

y

2

1的左

则P1F P2F P3F P4F P5F P6F的值是（ ） A．9 B．16 C．18 D．27

[解析] P1F P6F P2F P5F P3F P4F 6，选C

xa

22

3. P是双曲线

yb

22

1(a 0,b 0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则 PF1F2的内

切圆的圆心的横坐标为（ ） （A） a

（B） b

（C） c

（D）a b c

［解析］设 PF1F2的内切圆的圆心的横坐标为x0，

由圆的切线性质知，PF2 PF1 |c x0| |x0 ( c)| 2a x0 a

题型2 求双曲线的标准方程 [例2 ] 已知双曲线C与双曲线

x

2

16

－

y

2

4

=1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．

【解题思路】运用方程思想，列关于a,b,c的方程组 [解析] 解法一：设双曲线方程为

xa

22

－

yb

22

=1.由题意易求c=25.

又双曲线过点（32，2），∴

(32)a

2

2

－

4b

2

=1.

又∵a+b=（25），∴a=12，b=8. 故所求双曲线的方程为

x

2

22222

12

－

x

2

y

2

8

=1. －

y

2

解法二：设双曲线方程为

16 k4 k

＝1，

x

2

将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为

12

－

y

2

8

＝1.

【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用. 【新题导练】

4.已知双曲线的渐近线方程是y

2

2

x2

，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为

[解析]设双曲线方程为x 4y ， 当 0时，化为

x

2

y

2

4

1， 2

5 4

10 20，

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当 0时，化为

y

2

4

y

2

1， 2

5 4

10 20，

综上，双曲线方程为

2

x

2

20

y

2

5

1或

y

2

5

x

2

20

1

3y 0的双曲线方程为___________________.

5.以抛物线y 83x的焦点F为右焦点,且两条渐近线是x

2

[解析] 抛物线y 83x的焦点F为(23,0)，设双曲线方程为x2 3y2 ，

x

2

4 3

(23) 9，双曲

2

线方程为

9

y

2

3

1

6.已知点M( 3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN切于点B，过M、N与圆C相切的两直线相交于点P，则P点的轨迹方程为 A．x

2

y

2

8y

2

1(x 1) B．x

2

y

2

8y

2

1(x 1)

C．x

2

8

1（x > 0） D．x

2

10

1(x 1)

[解析]PM PN BM BN 2，P点的轨迹是以M、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B 考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围

[例3] 已知 …… 此处隐藏：7379字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……