黎曼函数的极限和间断点和可积性

为什么说在（0，1）中的每个有理点都是它的极大值点，每个无理点都是它的极小值点；该函数在每个有理点都不连续，在每个无理点都连续？

证明:

1)因为每个无理点都是最小值点，从而是极小值点

2)假设存在有理点x，x不是极大值点，则必有

任意小的a，R(x)在o(x,a)即x的邻域中找到点x0,使得

R(x0)>R(x).换句话说，绝对值任意小的a，存在整数r,s,使得(q/p-a)=r/s(s<p)根据分母比p小的有理数在一定的区间内只有优先个，不可能做到距离q/p任意小，矛盾。

3)每个有理点不连续，是因为R(q/p)=1/p非0，而q/p的任意小的邻域必然包含无理点，函数值为0

4)无理点连续，是因为:任意一个无理点a，在a的任意小的邻域内含的有理点的分母必然极大。（理由同2，小分母有理点具有区间有限性）

这个问题关键在于证明对于任意一个给定的无理数u,

那么对于任意一个给定的小正数e,存在一个u的领域(s,t)使得这个函数在此领域内取值都小于e。

我们取整数E>1/e,由于u是无理数，我们列出(0,1)中所有分母不超过E的有理数，由于是有限个，其中必然有两个h,g使得h<u<g,而且h和g之间没有分母不超过E的有理数。于是我们取s=h,t=g,就可以知道u的领域(h,g)中所有点的这个函数的取值都不大于1/(E+1).

由此我们证明了函数在无理数点的连续性。

而证明所有有理数点都是极大值的方法完全类似

任何区间内分母不超过任意给定整数N的有理数（最简表示）都是有限的。这个性质可以类似用来证明R（x）黎曼可