数字信号处理复习总结

数字信号处理复习要点

数字信号处理主要包括如下几个部分

1、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析

2、离散傅立叶变换、快速傅立叶变换

3、数字滤波器的设计

一、离散时间信号与系统的基本理论、信号的频谱分析

1、离散时间信号：

1）离散时间信号。时间是离散变量的信号，即独立变量时间被量化了。信号的幅值可以是连续数值，也可以是离散数值。

2）数字信号。时间和幅值都离散化的信号。

（本课程主要讲解的实际上是离散时间信号的处理）

3）离散时间信号可用序列来描述

4）序列的卷积和（线性卷积）

∑∞

-∞==-=

m n h n x m n h m x n y )(*)()()()( 5）几种常用序列

a)单位抽样序列（也称单位冲激序列）)(n δ,???≠==0

,00,1)(n n n δ b)单位阶跃序列)(n u ,???<≥=0

,00,1)(n n n u c)矩形序列，?

??=-≤≤=其它n N n n R N ,010,1)( d)实指数序列,)()(n u a n x n =

6）序列的周期性

所有n 存在一个最小的正整数N ,满足：)()(N n x n x +=,则称序列)(n x 是周期序列，周期为N 。(注意：按此定义，模拟信号是周期信号，采用后的离散信号未必是周期的)

7）时域抽样定理：

一个限带模拟信号()a x t ，若其频谱的最高频率为0F ，对它进行等间隔抽样而得()x n ，抽样周期为T ，或抽样频率为1/s F T =；

只有在抽样频率02s F F ≥时，才可由()a x t 准确恢复()x n 。

2、离散时间信号的频域表示（信号的傅立叶变换）

∑∞-∞=-=

n n j e n x j X ωω)()(，((2))()X j X j ωπω+=

ωωπωππd e j X n x n j ?-=)(21

)(

3、序列的Z 变换

∑∞-∞=-=

=n n z n x n x z X )()]([)(Z

1）Z 变换与傅立叶变换的关系，ωωj e z z X j X ==)()(

2）Z 变换的收敛域

收敛区域要依据序列的性质而定。同时，也只有Z 变换的收敛区域确定之后，才能由Z 变换唯一地确定序列。

一般来来说，序列的Z 变换的收敛域在Z 平面上的一环状区域：

+-<<x x R z R || 3）有限长序列：?

??<<=其它021N n N n x n x )()(，∞<≤||z 0 右序列：1()()0

x n N n x n ≤<∞?=??其它 ，|Z|>Rx- 左序列：2()()0x n n N x n -∞<≤?=??

其它， （|z|<R x+，N 2>0时：0≤|Z|< Rx+；N 2≤0时： 0<|Z|< Rx+）

双边序列：(),x n n -∞<<∞，+-<<x x R z R ||

常用序列的Z 变换： 11

1[()]1,||0

1[()],||111[()],||||11[(1)],||||1n n Z n z Z u n z z

Z a u n z a az Z b u n z b bz

δ---=≥=>-=>---=<- 逆变换

11

()()2n c x n X z z dz j π-=?x ，C ：收敛域内绕原点逆时针的一条闭合曲线

1）留数定理：1()[()C ]n x n X z z -=∑在内极点留数之和

2）留数辅助定理：1()[()C ]n x n X z z -=-∑在外极点留数之和

3）利用部分分式展开：1()1k k A X z a z

-=-∑

，然后利用定义域及常用序列的Z 变换求解。

4、离散时间系统：

[()]()T x n y n = 系统函数：()()()Y j H j X j ωωω=，()()()Y z H z X z = 冲激响应：()[()]h n T n δ=

5、线性系统：满足叠加原理的系统。[()()][()][()]T ax n by n aT x n bT y n +=+

6、移不变系统：若[()]()T x n Y n =，则[()]()T x n k Y n k -=-

7、线性移不变系统

可由冲激响应来描述（系统的输出相应是输入与单位冲激响应的线性卷积）

()()*()y n x n h n =，()()()Y j X j H j ωωω=，()()()Y z X z H z =

8、系统的频率特性可由其零点及极点确定 ∏∏∏∏∑∑=-=-=-=-=-=---=--==N k N k

M i M i N k k M i i N k k k M i i

i z z z z z z A z z z z A z a

z b z X 1111110011)()()()()( （式中，z k 是极点，z i 是零点；在极点处，序列x(n)的Z 变换是不收敛的，因此收敛区域内不应包括极点。）

9、稳定系统：有界的输入产生的输出也有界的系统，即：若|()|x n <∞，则

|()|y n <∞

线性移不变系统是稳定系统的充要条件：

|()|n h n ∞=-∞<∞∑

或：其系统函数H(z)的收敛域包含单位园 |z|=1 10、

因果系统：0n 时刻的输出0()y n 只由0n 时刻之前的输入0(),x n n n ≤决定

线性移不变系统是因果系统的充要条件：()0,0h n n =< 或：其系统函数H(z)的收敛域在某园外部：即：|z|>Rx

11、 稳定因果系统：同时满足上述两个条件的系统。

线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞

=-∞<∞∑，()0,0h n n =<

或：H(z)的极点在单位园内 H(z)的收敛域满足：||,1x x z R R --><

12、 差分方程

线性移不变系统可用线性常系数差分方程表示（差分方程的初始条件应满足松弛条件）

()()i n x b k n y a M

i i

N k k

-=-∑∑==0

13、 差分方程的解法 1）直接法：递推法 2）经典法

3）由Z 变换求解

二、 离散傅立叶变换、快速傅立叶变换 1、周期序列的离散傅立叶级数（DFS ）

)]([)(n x DFS k X p p =21

0()N j kn N

p n x n e

π--==∑1

()N kn

p N n x n W -==∑ ()[()]p p x n IDFS X k =()21

1

N j kn N P K O

X k e

N π??- ???

==

∑

()1

1N kn P N K O

X k W N

--==∑

其中：N W =N j e /2π-

2、有限长序列的离散傅立叶变换(DFT)

)]([)(n x DFT k X ={[()]}()N N DFS x n R k =<>1

0()N kn N n x n W -==∑，0≤k ≤1-N

()[()]x n IDFT X k ={[()]}()N N IDFS X k R n =<>1

1

()N kn N

k X k W

N

--==

∑，0≤n ≤1-N

应当注意，虽然)(n x 和()X k 都是长度为N 得有限长序列，但他们分别是由周期序列)(n x p 和)(k X p 截取其主周期得到的，本质上是做DFS 或IDFS ，所以不能忘记它们的隐含周期性。尤其是涉及其位移特性时更要注意。

3、离散傅立叶变换与Z 变换的关系 22()()|()|j k N

k z e N X k X j X z ππωω====

4、频域抽样定理

对有限长序列x(n)的Z 变换X(z)在单位圆上等间隔抽样，抽样点数为N ，或抽样间隔为2/N π，当N ≥M 时，才可由X(k)不失真恢复()X j ω。 内插公式：1101()()1N

N k k N z X k X z N

W z

----=-=-∑ 5、周期卷积、循环卷积

周期卷积：13120()()()N p p p m x n x m x n m -==-∑

循环卷积：31()()x n x n

=2()x n 13120()()()()()N p N p p N m x n R n x m x n m R n -=??==-????∑

6、用周期（周期）卷积计算有限长序列的线性卷积

对周期要求：121N N N ≥+-（N1、N2分别为两个序列的长度）

7、基2 FFT 算法

1）数据要求：2M N =

2）计算效率（乘法运算次数：12

NM ，加法计算次数：NM ）（复数运算） …… 此处隐藏：3435字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……