有关反函数的高考题综述

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2004年第20期　　　　　　　　　　　　　　数学通讯33

有关反函数的高考题综述

曾安雄

(泰顺县第一中学,浙江　325500)

　　反函数是中学数学中的重要概念,是高考中常考的知识点之一,大都是以选择题及填空题的形式出现,属容易题.本文将结合近年来的高考试题,对有关反函数的不同考查内容进行分类并作出探讨,以揭示这类问题的命题及求解的一般规律,供参考.

1　求反函数的解析式

根据互为反函数的两函数的定义域和值域是互换的,排除(A),(B);再据互为反函数的两函数具有相同的单调性(都是减函数),故选(D).

2　求反函数的定义域和值域

,还常,fx)的定义域为A,值域为B,则其反函数y

=f

-1

已知函数y=f(x),析式y=f

-1

x,其

(x)定义域为B,值域为A.

-1

条件是“若x1x2f(x1)≠f(x2)”;其次抓住求反函数的一般步骤:反解———互换———表定义域.

例1　(2003年全国高考题)函数f(x)=sinx,

x∈[

例2　1)　(2004年北京春季高考题)若f

(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数,则f

-1

(x)的

值域是.

2)(1999年上海高考题)函数f(x)=log2x+1(x≥4)的反函数f

-1

π-1

,]的反函数f(x)=22

(A)-arcsinx,x∈[-1,1].

(B)-π-arcsinx,x∈[-1,1].(C)π+arcsinx,x∈[-1,1].(D)π-arcsinx,x∈[-1,1].

(　　)

(x)的定义域是.

解　1)由互为反函数的定义知,反函数的值域就是原函数的定义域.由原函数f(x)的定义域为

(-1,+∞),故f

-1

(x)的值域是(-1,+∞).

分析:本题除了用常规方法外,由于这是一道选择题,又可以通过三角函数的性质排除三个错误选择支而得到正确支.

解法1　(运用三步曲(反解———互换———表定义域))

π-x),且π-x∈(-由y=sinx=sin(

π

),则π-x=arcsiny,即x=π-arcsiny,2

∴y=f

(D).

-1

2)只须求原函数f(x)=log2x+1(x≥4)的值

域即可.

∵f(x)=log2x+1≥3,∴反函数f

-1

(x)的定义域是[3,+∞).

3　求反函数的值

,2

已知函数y=f(x)的解析式,求反函数值f

(a)有两种方法:1)先求出反函数的解析试y=f

-1-1

(x),再把x=a代入即得;2)根据f(a)=b　Ζ

(x)=π-arcsinx,x∈[-1,1],而选

　f

-1

(b)=a,等价转化为求解方程f(x)=a的问

题,解出x即为所求.

解法2　(运用f(a)=b　Ζ　f显然点(

-1

(b)=a)

例3　(2003年上海春季高考题)已知函数

f(x)=

x+1,则f

-1

,1)在y=f(x)上,故有(1,)在y22

(3)=.

-1

=f

-1

(x)上,而排除(A),(B),(C),选(D).

解法1(运且f(a)=b　Ζ　f设f

-1

(b)=a)

解法3　(运用互反函数的定义及单调性)(3)=a,则f(a)=3,即a+1=3,得a

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=4.

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(D),而选(B).

∴f

-1

(3)=4.

-1

解法2(求出反函数)易求得其反函数为f

(x)=(x-1)2(x≥1),则有f

-1

(3)=(3-1)2=4.

4　考查反函数的单调性与奇偶性

反函数的单调性与奇偶性可用定义法来判定,还常用以下性质:1)原函数与其反函数的单调性相同;2)若原函数为奇函数,则其反函数也为奇函数,反之亦然;3)偶函数除了f(x)=C(x∈{0})外无反函数,即定义域中至少含有两个元素的偶函数无反函数.

例4　(1992)y=x

　　(A)　　　　　　　　　　　　　　(B)

-x

)

　　(C)　　　　　　　　　　　　　　(D)

图1　例5图

(A),(,+∞)上是减函数.(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.

6　求互反函数图象的交点

函数y=f(x)与其反函数y=f-1(x)的图象交点,或者在直线y=x上;或者关于直线y=x对称.

若函数y=f(x)是单调函数,则函数y=f(x)与它的反函数y=f定在直线y=x上.

例6　(2002年全国高考题)函数y=

(x1+x

-1

分析:本题若是直接考查其反函数f

(x+

-1

(x)=ln

x2+1)(x∈R)的奇偶性和单调性虽然可行

(x)的图象有交点时,交点必

但却复杂,有悖于考查能力的命题初衷.可利用奇偶性和单调性简捷解决.

解　易得y=

x

-x

2

)是奇函数,且在(0,+∞

))的图象与其反函数图象的交点坐标∈(-1,+∞

上是增函数,由性质知,其反函数也是奇函数和增函数,应选(C).

5　考查互为反函数的函数图象对称性

为.

解法1　由于y=

)上是在x∈(-1,+∞

1+x

=x(x>-1+x

互为反函数的两函数的图象关于直线y=x对称,若函数f(x)的图象过点M(a,b),则其反函数

f

-1

增函数,故交点必在y=x上,即有

1),得x=0或1,故它们的交点坐标为(0,0)和(1,1).

(x)的图象必过点M′(b,a),反之亦然,故有

-1

f(a)=b　Ζ　f(b)=a.

解法2　设它们的交点坐标为(a,b),则点(a,

b)在原函数的图象上,点(b,a)也在原函数的图象

例5　(1994年全国高考题)设函数f(x)=1-0),则函数y=f1-x(-1≤x≤

2

-1

上,即

(x)的图象是

(　　)

b=

,1+a

　Ζ

a=0,b=0

a=1,b=1.

故填(0,

解　由于点

-

,22

在原函数上,故点

a=

1+b

0),(1,1).

必在反函数的图象上,可排除(A),(C),

,-22

(收稿日期:2004-05-25)