结构力学 超静定结构内力

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§4.4 超静定结构内力分析

Methods of Analysis of Statically Indeterminate Structures

结构力学 超静定结构内力

遵循材料力学中同时考虑“变形、本构、平衡”分 析超静定问题的思想，可有不同的出发点：以力作为基本未知量，在自动满足平衡条件的基础 上进行分析，这时主要应解决变形协调问题，这种 分析方法称为力法(force method)。 以位移作为基本未知量，在自动满足变形协调条件 的基础上来分析，当然这时主要需解决平衡问题， 这种分析方法称为位移法(displacement method)。 如果一个问题中既有力的未知量，也有 位移的未知量，力的部分考虑位移协调，位移的部 分考虑力的平衡，这样一种分析方案称为混合法 (mixture method)。

在本节主要介绍力法

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(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系)超静定次数 = 未知力的个数-静力平衡方程个数 = 多余约束数 = 变成基本结构所需解除的约束数 基本结构——静定结构

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(1 次)

切断一个链杆相当于去掉一个约束。

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(3 次)切断一个连续杆相当于 去掉三个约束。

或增加一个单铰相当于去 掉一个防止转动的约束

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(6 次)

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(4 次)

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确定超静定次数时应注意： (a)切断弯曲杆次数3、链杆1,刚结变单铰1, 拆开单铰2。 总次数也可由计算自由度得到。 (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本结 构，不同基本结构带来不同的计算工作量。 因此，要选取工作量较少的基本结构。

(c) 可变体系不能作为基本结构

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基本原理举例例1. 求解图示单跨梁原结构

转化基本体系 fundamental system or primary system

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未知力的位移

“载荷”的位移

总位移等于已知位移

1 11 1P 1 0变形协调条件 力法典型方程 (The Compatibility Equation of Force Method )

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q

1P(b ) 力法基本方程- (c)

11X1 X1 1

11

11 1 p 0 11 11 X 1

11 X 1 1P 08

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单位弯矩图自 乘

系数求法载荷弯矩图互乘

ij — 位移系数 11 M 1M 1 l dx EI 3 EI3

iP

—

广义荷载位移

M 1M P ql4 1P dx EI 8 EI

代入力法方程

11 X 1 1P 03 X 1 ql 8

l3 ql4 X1 0 3 EI 8 EI

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绘内力图(以弯矩图为例，采用两种方法) (1 ) EI q lql 2 8 ql 2 16

3ql 8 (2) M M X M 1 1 P

M

单位弯矩图

载荷弯矩图

X1

3 ql 8

9

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基本体系有多种选择；

11 X 1 1P 0q EIX1

q

qX1

1q q 1 p 11 X 1

qX1 X1

1 p

)

11 X 1

X1

(a)

(b)

(c )

10

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力法的基本思路超静定计算简图 解除约束转 化成静定的 基本结构承受荷 载和多余未知力

基本体系受力、变形解法已知

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力法的基本思路用已掌握的方法，分析单个基本未 知

力作用下的受力和变形位移包含基本未知力Xi

同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形

为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件

11 12 1P 1 21 22 2 P 2

由此可解得基本未知力，从 而解决受力变形分析问题