第03章__傅里叶变换和离散傅里叶级数 数字信号处理[刘兴钊][电

第3章 傅里叶变换和离散傅里叶级数(DFS)3.1 傅里叶变换的定义 3.2 傅里叶变换与z变换的关系 3.3 傅里叶变换的性质 3.4 DFS的定义 3.5 周期信号的傅里叶变换表示 3.6 DFS的性质

3.1 傅里叶变换的定义离散时间信号的傅里叶变换为离散时间傅里叶 变换(DTFT:Discrete-Time Fourier Transform),简称傅里叶变换。 傅里叶变换是离散时间信号分析与处理的重要 工具之一，它给出了在频域分析离散时间信号 和系统的方法。

幅度

0

时间

一个序列可以分解成不同频率的正弦分量，又由于正弦分 量可以表示成复指数序列之和，所以一个序列可以分解成 不同频率的复指数序列，由此引入了数字角频率取值为负 的复指数序列。这些复指数序列的频率、幅度和初始相位 信息就表示了原始序列的频谱情况，而其中的幅度和相位 分别是频率的函数，这两个函数可以合成一个复数函数， 该复数函数就是序列的傅里叶变换。傅里叶变换的正变换 就是求该复数函数(即频谱)的过程，而傅里叶反变换就 是已知傅里叶频谱，将之作为权重对不同频率的复指数序 列加权求积分得到原始序列的时域信号的过程。

很多序列都能用 {e } 作为基函数进行正交展开，表示成 如下的傅里叶积分形式1 x[n] 2

j n

X (e j )e j n d

傅里叶反变换

X e j F {x[n]}

其中Xe

x[n]ej n

j n

傅里叶正变换

x[n] F 1{ X e j }

证明正反变换互逆见课堂笔记 特殊变换：

n

x[n] X e | j

0

X (e j )d 2 x[n] |n 0

一般来说， X e j 是 的复值函数，可以表示成 .X (e ) X R (e ) jX I (e ) | X (e ) | ej j j j j X ( e j ) )

| X e j |: 幅度 X e j : 相位

ARG X e j : 主值相位 arg X e j : 连续相位

周期性:X e j ( 2 ) x[n]e j ( 2 ) n X e j

举例

MATLAB画信号频谱x[n] 0.2 u[n], X (en j

)

1 1 0.2e j title('实部') title('虚部') title('幅度') title('相位')

subplot(2,2,1); fplot('real(1/(1-0.2*exp(-1*j*w)))',[-2*pi,2*pi]); subplot(2,2,2); fplot('imag(1/(1-0.2*exp(-1*j*w)))',[-2*pi ,2*pi]); subplot(2,2,3); fplot('abs(1/(1-0.2*exp(-1*j*w)))',[-2*pi,2*pi]); subplot(2,2,4); fplot('angle(1/(1-0.2*exp(-1*j*w)))',[-2*pi,2*pi]);ʵ ¿ ² 1.5 0.5 Ðé ¿ ²

1

0

0.5 1.5

-5

0 ·¶ ùÈ

5

-0.5 0.5

-5

0 ÏÎ à»

5

1

0

0.5

-5

0

5

-0.5

-5

0

5

收敛性: 如果 | x[n] | n

,则 j n

| X e

j

| x[n]en

n

| x[n]e

j n

|

n

| x[n] |

绝对可和是收敛的充分条件 有些序列不是绝对可和但是平方可和，即n

| x[n] |2

也能有傅里叶变换表示 sin( c n) 举例 x[n] , n n 2 x[n] c n 1, | | c j X (e ) 0, | | cIFT [ X e

j

1 ] 2

e

c

j n

sin( c n) d n

还有一些序列,既非绝对可和也非平方可和，若在频域引入 冲激函数 ( ) ,它们也可以有傅里叶变换表示

举例

x[n] 1X e

2 2 r j r

1 IFT [ X e ] [ 2 2 r ]e j n d 2 r 1 2 e j n d 1 2 j

3.2 傅里叶变换与z变换的关系X e j j n

x[n]e j n , X ( z )

n

x[n]z n

X (e ) X ( z ) |z e j X ( z)

傅里叶变换就是单位圆上的z变换

n

x[n]z nj n

n

x[n](re )

n

x[n]r n e j n

z变换是对序列 x[n]r n 作傅里 叶变换

傅里叶变换不收敛的序列，z变换就可以收敛; z变换的收敛域包括单位圆时傅里叶变换就收敛; 也有z变换不收敛，而傅里叶变换表示存在的情况.

3.3傅里叶变换的性质x[n] F X (e j ), y[n] F Y (e j )

F 1.线性性质 : ax[n] by[n] aX (e j ) bY (e j )

F 2.时移性质 : x[n n0 ] e j n0 X (e j ) F 3.频移性质 : e j 0n x[n] X (e j ( 0 ) )

F 4频域微分性质 nx[n] j

dX e j d

F 5.时域卷积性质 x[n] y[n] X (e j )Y (e j )

6.频域卷积(时域调制或加窗)性质 1 1 j j x[n] y[n] X ( e ) Y (e ) 2 2 F

X (e j )Y (e j ( ) )d

频域是周期卷积7.帕斯瓦耳定理 : 1 x[n] y [n] X (e j )Y * (e j )d 2 n 1 2 E | x[n] | | X (e j ) | 2 d 2 n *

| X (e j ) |2

:能量密度谱 证明见课堂笔记

8.对称性质F F x*[n] X * (e j ), x*[ n] X * (e j )

X (e j ) X * (e j ) 共轭对称分量 Re( x[n]) X e (e j ) 2 j X (e ) X * (e j ) 共轭反对称分量 F j j Im( x[n]) X o (e ) 2 j * X (e ) X (e j ) F j xe [n] Re[ X (e )] 2 X (e j ) X * (e j ) F j xo [n] j Im[ X (e )] 2F

对于实序列X (e j ) X * (e j ) X * (e j ( 2 ) ) X * (e j ( 2 )

)X R e j X R e j X I e j X I e j

| X (e j ) | | X (e j ) |, X (e j ) X (e j )

举例

x[n] 0.2n u[n], X (e j ) ʵ ¿ ² 1.5 0.5

1 1 0.2e j Ðé ¿ ²

1

0

0.5 1.5

-5

0 ·¶ ùÈ

5

-0.5 0.5

-5

0 ÏÎ à»

5

1

0

0.5

-5

0

5

-0.5

-5

0

5

3.4 DFS的定义 x[n] :周期为N1 N 1 x[n] X [k ]WN kn , n ,.. N k 0 N 1 kn X [k ] x[n]WN , k ,.. n 0 kn WN e j 2 kn / N

DFS反变换

DFS正变换

证明二者互逆见课堂笔记

X [k ]也是周期为N的序列: N 1 ~ ~ ~[n]W ( k rN ) n X [k ] X [k rN ] x Nn 0

~

举例

周期N=10

[k ] W kn e j 4 k /10 sin( k / 2) X 10 sin( k /10) n 04

9

2 9 10

1

2 10

2

2 2 10

周期为N的信号在[0 2PI)内只有 N个等间隔分布 …… 此处隐藏：1374字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……