大庆师范学院数学与应用数学初等数论试题2参考答案及评分细则

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∵2，5，7，9两两互质，∴可用孙子定理求解．------------------------------2分

《初等数论》期末试卷参考答案及评分细则

m 2 5 7 9 630，M1 5 7 9 315，M2 2 7 9 126，

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M3 2 5 9 90；M4 2 5 7 70；-------------------------------------2分

一、填空题（每小题2分，共20分）

由315M/1 1(mod2)，得M///

1=1；由126M2 1(mod5)，得M2=1；

1． __42___．2． __ x≡4,9(mod10)__．3．8n 5

由90M/

/

/

/

5n 3

．4． 96__．5．_6_．6． _0,1,3,4,5,9．

3 1(mod7)，得M3=6；由70M4 1(mod9)，得M4=4．------------2分

∴ x 315×1×1＋126×1×3＋90×6×2＋70×4×3 2613 93(mod630)．

∴本数为93＋630t t N ．--------------------------------------------------2分

3．（8分）.

解：消去y得7x 10z 230，---------------------------------------------2分

二、判断题（每小题2分，共10分）

通解为 1． ×; 2．×; 3√; 4．×; 5．√ .

x 30 10t

z 2 7t t Z ，

三、单项选择题: （每小题2分，共14分）

代入（1）中得y 42 27t，

1．D ．2．D ．3．B ．4．C ．5．C ．6． B ． 7． D .

x 此方程组通解为

30 10t

y 42 27t t Z ．---------------------------------2分

四、计算题（共38分）

z 2 7t1．（6分）

解：∵ 47,19 =1， 19 =18，∴4718≡1（mod19）．-----------------------2分 30 10t 0

t 3

令 27t 0得∴477385= 4718

410

475≡475≡95≡ 92 2

×9≡16（mod19）． 42 t 42

∴2<t<42 t Z ， ∴t=1．-----------------2分---------------2分

2 7t 0 27

727

∴477385除以19的余数为16．----------------------------------------------2分

t 272．（8分）

x 40

∴原方程组的正整数解为

y 15．------------------------------2分

x 1 mod2

z 5解：设本数为x，根据题意有 x 3 mod5 2 mod7 ， x 4． （8分）

x 3 mod9

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下面证明（2）包含了（1）的全部解．

解：∵ =

2 2

p 1

p 1 p

2

p

3

= 3

=1， 设x1,y1是（1）的任一解，则ax1 by1 c．…（4）

p 1

p 1∴ 1 2 1 （4）—（3）得a x1 x0 b y1 y0 0．从而有a x1 x0 b y1 y0 .

p 或 1 2 1 p ，-----------------------------------------2分

3

1

3 1因为a a1d，b b1d， a,b d 0，所以a1 x1 x0 b1 y1 y0 …（5）------2分 解得

p 1(mod4) 1(mod3)或 p 1(mod4)

3)

，-----------------------------------2分

根据 p p 1(mod a1,b1 1，可知b1 x1 x0 ．由此推出x1 x0 b1t（t是整数），

即p≡1（mod12）或p≡－1（mod12）．------------------------------2分

即 x1 x0 b1t．-------------------------------------------------------------------------------------------2分

∴p=24m 1时，3为模p的平方剩余．--------------------------------2分

从而有a1 x x1 x0 b1t

0 b1t x0 b y1 y0 ，所以y1 y0 a1t，即

（t是整数）. y1

y0 a1t5． （8分）

这表明（1）的任一解均可表成（2）的形式．---------------------------------------------------------2分 解：原方程等价于 x3 x 5 0(mod3)LL(1)

x3 x 5 0(mod5)LL(2)

，--------------------------------2分

q

2． 证明：假设方程有有理根，令其为

p

（ p,q 1），则p,q一奇一偶或同奇． 经验证可知（1）的解为x 1(mod3)，（2）的解为x 0,2,3(mod5)．--------------2分

2

∵ q

q p是根，∴a 下面解同余式组

x 1(mod3)

p b q p

c 0，即aq2 bpq cp2 0．-----------------3分 x b(mod5),(b 0,2,3)

，

(1)

若p,q同奇，∵a,b,c均为奇数，∴aq2

,bpq,cp2

，aq2

bpq cp2

均为奇数，利用孙子定理可知x 10 6b(mod15)(b 0,2,3)，--------------------------------2分 而0是偶数，此时aq2

bpq cp2

0．-----------------------------------3分

所以原同余方程的解为x 10,7,13(mod15)(b 0,2,3)．----------------------------2分

(2)

若p,q一奇一偶，不妨令p是奇数，q是偶数，∵a,b,c全是奇数，

五、证明题（每小题9分，共18分） ∴cp2

是奇数，aq2

,bpq是偶数，则aq2

bpq cp2

1．为奇数， 证明：先证（2）是（1）的解．

因为 x此时aq2

bpq cp2

0，当p是偶数，q是奇数时同理可证．

0,y0 是（1）的解，所以ax0 by0 c．…（3）------------------------1分 将（2）代入（1），有

综上所述，结论成立．------------------------------------------------------------------------------3分

a x0 b1t ＋b y0 a1t ax0 by0 ab1 a1b t

c a1b1 a1b1 dt c．

所以（2）是（1）的解．------------------------------------------------------------------------------2分