四川省2011初二数学竞赛初赛试题及答案

2011年四川初中数学联赛(初二组)初赛

解答与评分标准

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1、分式

xyz

(xyz 0)中x,y,z的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的

x y z

（ ）。

（A）2倍 （B）4倍 （C） 6倍 （D） 8倍 答：选B。

2、有甲、乙两班，甲班有m个人，乙班有n个人。在一次考试中甲班平均分是a分，乙班平均分是b分。则甲乙两班在这次考试中的总平均分是（ ）．

（A）

a bm nam bnam bn

（B） （C） （D） 2a bm n2

答：选D。

3、若实数a满足|a| a，则|a a2|一定等于（ ）． （A）2a （B）0 （C） -2a （D）-a

答：因为|a| a，所以a 0，故|a a2| |a |a|| |2a| 2a，选C。 4、 ABC中，AD是 BAC的平分线，且AB AC CD。若

第4题

BAC 60 ，则 ABC的大小为（ ）

（A）40 （B）60 （C）80 （D）100

答：作C关于AD的对称点C’。因为AD是角平分线，则C’一定落在AB上。由AB AC CD，得AB AC' C'D，故BC' C'D，所以 C AC'D 2 B，又 B C 180 A 120，故

B 40 ，选A。

5、在梯形ABCD中，AD平行BC，AD:BC 1:2，若 ABO的面积是2，则梯形ABCD的面积是（ ）。

（A）7 （B）8 （C）9 （D）10

答

：

设

第5题

S A

x

D

。O

由

AD:BC AO:OC S A，故S:S CD 1:2 2x，同理S ABO 2x，DOO CDO

S CBO 4x，故x 1，所以梯形面积是9，选C。

6、有一个最多能称10千克的弹簧秤，称重发现，弹簧的长度与物体重量满足一定的

关系，如下表。那么，在弹簧秤的称重范围内，弹簧最长为（ ）。

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A 10答：由表中关系可以得到，弹簧长度（y）与称重（x）的关系是y 3.5 x，故弹簧最长为13.5厘米，选B。

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1、已知a

13 1

2

,b

1 1

，则a2 b2 7的值为 .

答：由题设有：a

4 224 2，则a2 b2 7 3。 ,b

44

2、已知在 ABC中， C 90，AD是 BAC的平分线交BC于点D，BD:DC 2:1，则 B的度数是

答：因为AD是角平分线，所以BD:DC AB:AC 2:1，故

B 30 。

第2题

BI A 80，３、在 ABC中，I是 B, C的角平分线的交点，则 C

的度数为 ．

答：由题知

1111

BIC 180

( B C) 180 (180 A) 90

222。

４、设函数y kx(k 0)与y

1

的图像相交于A、C，过A作x

x轴的垂线相交于B，则 ABC的面积是

答：由题得

B

的坐标为(

1k

,k)，所以

第4题

S ABO

111 k ，又显然O为AC的中点，故2k2

S ABC 2S ABO 1。

三、（本大题满分20分）

设tx 2 2x t是关于x的方程。当方程的解分别：（1）大于0；（2）等于0；（3）小于0时，求t的取值范围。

解：方程整理为(t 2)x 2 t 当t 2时，方程的解为：x

2 t

…………………5分 t 2

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2 t

0，此时，t 2或t 2；…………………10分 t 22 t

0，此时，t 2； …………………15分 （2）当x 0时，则

t 22 t

0，此时， 2 t 2。 …………………20分 （3）当x 0时，则

t 2

（1）当x 0时，则

四、(本大题满分25分)

在平面直角坐标系中，A（2,0），B（3,0），P是直线y x上的点，当PA PB最小时，试求P点的坐标。

解：如图，作A关于直线y x的对称点A’，则PA PA'，故

PA PB PA' PB。 …………………5分 由图知，只有当A、P、B共线时，PA PB最小。 ……10分 又由A与A’关于y x对称知，A’（0,2）。 ………………15分

xy

由A'、B两点坐标得AB直线方程： 1。 ………20分

32

xy

6 1

联立 32解得x y ，

5 y x

故当PA PB最小时，P的坐标为(,)。…………………25分

五、（本大题满分25分）

求证：有两条中线相等的三角形是等腰三角形。 设BD、CE是 ABC的两条中线（如图），证明AB AC。……5分 证明1 作中线AF，则三条中线交于重心G。 ……10分

6655

22

因为BG BD，CG CE，所以BG CG； ………15分

33

所以GF BC，即AF BC。 ………20分 又AF是中线，故AB AC。 ……………25分

证明2：

如图，将EC沿ED平移得DF，连接ED、CF，则四边形EDFC是平行四边形，所以BD EC DF. …………10分

又D、E分别AC、AB的中点，所以DE平行BC，所以B、C、F共线。 所以 DBF DFB ECB ………15分

又 BD=CE，BC=CB 所以 ECB DBC(SAS) ………20分 所以 ABC ACB，故AB=AC。 ……………25分

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