2017_2018学年高中数学平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案

2017_2018

1 2．3.4 平面向量共线的坐标表示

预习课本P98～100，思考并完成以下问题

如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？

[新知初探]

平面向量共线的坐标表示

[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2

(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；

(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0?a ∥b .

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )

答案：(1)√ (2)√

2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )

A ．(2,1)

B ．(－1,2)

C ．(6,10)

D ．

(－6,10)

答案：C

3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )

A ．－12 B.12

C ．－2

D ．2 答案：D

4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________． 答案：? ??

??73，0

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[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于

( )

A.12

B.13

C ．1

D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断 AB 与 CD 是否共线？如果共线，

它们的方向相同还是相反？

[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，

1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12

. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而????? 1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，

从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12

. [答案] A

(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)， CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，

∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴ AB ， CD 共线．

又 CD ＝－2 AB ，∴

AB ， CD 方向相反．

综上， AB 与 CD 共线且方向相反．

已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？

解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，

a －3

b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，

若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，

解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13

(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13

时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．

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[典例] (1)已知 OA ＝(3,4)， OB ＝(7,12)， OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)设向量 OA ＝(k,12)， OB ＝(4,5)， OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点

共线？ [解] (1)证明：∵ AB ＝ OB － OA ＝(4,8)， AC ＝ OC － OA ＝(6,12)，

∴ AC ＝32

AB ，即 AB 与 AC 共线． 又∵ AB 与 AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)若A ，B ，C 三点共线，则 AB ， AC 共线， ∵ AB ＝ OB － OA ＝(4－k ，－7)， AC ＝ OC － OA ＝(10－k ，k －12)，

∴(4－k )(

k －12)＋7(10－k )＝0.

解得k ＝－2或k ＝11.

设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时， AB 与 CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？ 解： AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)， BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)， CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )． 由 AB 与 CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2. 又 AB 与 CD 方向相同，所以x ＝2. 此时， AB ＝(2,1)， BC ＝(－3,2)，

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4 而2×2≠－3×1，所以 AB 与 BC 不共线，

所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．

所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．

题点一：两直线平行判断

1. 如图所示，已知直角梯形ABCD ，AD ⊥AB ，AB ＝2AD ＝2CD ，过点C 作CE ⊥AB 于E ，用向量的方法证明：DE ∥BC ；

证明：如图，以E 为原点，AB 所在直线为x 轴，EC 所在直线为y 轴建立直角坐标系，

设| AD |＝1，则| DC |＝1，| AB |＝2.

∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ，

∴四边形AECD 为正方形，

∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)．

∵ ED ＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，

BC ＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，

∴ ED ＝ BC ，∴ ED ∥ BC ，即DE ∥BC .

题点二：几何形状的判断

2．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．

证明：由已知得， AB ＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，

CD ＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．

∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴ AB 与 CD 共线．

AD ＝(－1,2)， BC ＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，

∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴ AD 与 BC 不共线．

∴四边形ABCD 是梯形．

∵ BC ＝(－2,1)， AD ＝(－1,2)，

∴| BC |＝5＝| AD |，即BC ＝AD .

故四边形ABCD 是等腰梯形．

题点三：求交点坐标

3. 如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交

点

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5 P 的坐标．

解：法一：设 OP ＝t OB ＝t (4,4)

＝(4t,4t )，

则 AP ＝ OP － OA ＝(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，

AC ＝ OC － OA ＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．

由 AP ， AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，

解得t ＝34

.∴ OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．

法二：设P (x ，y )，

则 OP ＝(x ，y )， OB ＝(4,4)．

∵ OP ， OB 共线，

∴4x －4y ＝0.①

又 CP ＝(x －2，y －6)， CA ＝(2，－6)，

且向量 CP ， CA 共线，

∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②

解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，

∴点P 的坐标为(3,3)．

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

层级一 学业水平达标

1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )

A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)

B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)

C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)

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6 D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝? ????12

，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1 …… 此处隐藏：5439字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……