精校版北师大版高中数学选修2-3同步精练：5离散型随机变量的均值

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1．若X是一个随机变量，则E(X－EX)的值为()．

A．无法求 B．0 C．EX D．2EX

2．今有两台独立工作在两地的雷达，两台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85.设发现目标的雷达台数为X，则EX＝()．

A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22

3．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，EX＝6.3，则a＝().

X 4 a 9

P 0.50.1b

A．5 B．6 C．7 D．8

4．已知随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝1

3

(k＝1,2,3)，则D(3X＋5)＝()．

A．6 B．9 C．3 D．4

5．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独

立的，并且概率都是2

5

，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为()．

A．6

5

B．

18

25

C．

6

25

D．

18

125

6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取到次品的个数，则EX＝()．

A．3

5

B．

8

15

C．

14

15

D．1

7．设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则EX＝______.

8．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望为______．

9．某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门，首次到达北门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号通道、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需时间．

(1)求ξ的分布列；

(2)求ξ的数学期望(均值)．

10．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相同．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：

甲保护区：

ξ012 3

P 0.30.30.20.2 乙保护区：

η01 2

P 0.10.50.4

试评定这两个保护区的管理水平．

参考答案

1.答案：B

解析：∵EX是一个常数，∴E(X－EX)＝EX－EX＝0.

2.答案：B

解析：设A，B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X可能取0,1,2.

∴P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)P(B)＝(1－0.9)(1－0.85)＝0.015，

P(X＝1)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝0.9×0.15＋0.1×0.85＝0.22，

P(X＝2)＝P(A)P(B)＝0.9×0.85＝0.765，

∴EX＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.

3.答案：C

解析：由分布列的性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴EX＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3，∴a＝7.

4.答案：A

解析：EX＝(1＋2＋3)×1

3

＝2，

∵Y＝3X＋5可能取值为8,11,14，其概率均为1 3 .

∴EY＝8×1

3

＋11×

1

3

＋14×

1

3

＝11.

∴DY＝D(3X＋5)＝(8－11)2×1

3

＋(11－11)2×

1

3

＋(11－14)2×

1

3

＝6.

5.答案：B

解析：由X～B(3，2

5

)，∴DX＝3×

2318

5525

?=.

6.答案：A

解析：由题意，得P(X＝1)＝

11

73

2

10

C C

C

，P(X＝2)＝

2

3

2

10

C

C

，P(X＝0)＝

2

7

2

10

C

C

.

∴EX＝1×

11

73

2

10

C C

C

＋2×

2

3

2

10

C

C

＋0×

2

7

2

10

C

C

＝

3

5

.

7.答案：n m

解析：设A＝“任一大肠杆菌在所取的1升水中”，则

P(A)＝1 m .

∴P(X＝k)＝P n(k)＝

11

C1

k n k

k

n m m

-

????

-

? ?

????

(k＝0,1,2,3，…，n)，

∴X～B

1

,n

m

?? ???

.

∴EX＝n×1n m m =.

8.答案：8.5

解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X的值为：2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的

概率都是

1 10

.

∴EX＝(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)×

1

10

＝8.5.

9.解：(1)ξ的所有可能取值为1,3,4,6.

P(ξ＝1)＝1

3

，P(ξ＝3)＝

1

6

，P(ξ＝4)＝

1

6

，P(ξ＝6)＝

1

3

，所以ξ的分布列为：

ξ134 6

P

1

3

1

6

1

6

1

3

(2)Eξ＝1×1

3

＋3×

1

6

＋4×

1

6

＋6×

1

3

＝

7

2

(小时)．

10.解：甲保护区的违规次数ξ的均值和方差为Eξ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，

Dξ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21；

乙保护区的违规次数η的均值和方差为

Eη＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，

Dη＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.

因为Eξ＝Eη，Dξ＞Dη，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．

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