向量代数与空间解析几何复习

第一节 向量及其线性运算一、向量的概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系

第八章

四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影目录 上页 下页 返回 结束

向量的坐标表示

以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 ,

r x i y j z k (x , y , z )

记

目录

上页

下页

返回

结束

向量的模与两点间的距离公式

设 r ( x , y , z ),

r x2 y 2 z 2与 因

对两点

得两点间的距离公式:

( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ( z2 z1 ) 2

目录

上页

下页

返回

结束

方向角与方向余弦 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角.

z r O

方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos r x2 y2 z 2 y y cos 2 2 2 r x y z

y

x

z cos r

z x2 y2 z 2目录 上页 下页 返回 结束

x cos r y cos r z cos r

x x2 y2 z 2 y x y z z2 2 2

z rO

y

x

x2 y2 z 2

方向余弦的性质:

目录

上页

下页

返回

结束

3. 向量在轴上的投影设 a 与 u 轴正向的夹角为 , 则 a 在轴 u 上的投影为 a cos

M

aO M

u

记作 Prj u a 或 ( a )u , 即

MM

( a )u a cos

O

u

例如, a (ax , a y , az ) 在坐标轴上的投影分别为 ax , a y , az 投影的性质1) 2) ( 为实数)第二节 目录 上页 下页 返回 结束

总习题 11

目录

上页

下页

返回

结束

第二节 数量积 向量积一、两向量的数量积 二、两向量的向量积

第八章

目录

上页

下页

返回

结束

一、两向量的数量积1. 定义 设向量 a , b 的夹角为 , 称记作

a b为a 与b 的数量积 (点积) .当 a 0 时, a b a Pr ja b 同理, 当 b 0 时,

目录

上页

下页

返回

结束

2. 性质

(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有

a b 03. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律

a ( b)

目录

上页

下页

返回

结束

4. 数量积的坐标表示设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则

a b a x bx a y by a z bz两向量的夹角公式 当

为非零向量时, 由于

cos

a b

a b cos , 得 a x bx a y by a z bz2 2 2 bx b y bz

2 2 ax a 2 az y

目录

上页

下页

返回

结束

总习题 7

8

9

目录

上页

下页

返回

结束

二、两向量的向量积1. 定义 定义 设 a , b 的夹角为 , 向量 c 方向 : c a , c b 且符合右手规则 模 : c a b sin

称 c 为向量 a 与 b 的向量积 , 记作

b

c a b

(叉积)

a c a b

目录

上页

下页

返回

结束

2. 性质

a b a b sin

(1) a a 0 (2) a , b为非零向量, 则 a b

03. 运算律

a∥ b

(1) a b b a(2) 分配律 ( a b ) c a c b c (3) 结合律 ( a ) b a ( b ) ( a b )

目录

上页

下页

返回

结束

4. 向量积的坐标表示式

设 a a x i a y j a z k , b bx i by j bz k , 则

i j k a b ax a y az

bx b y bz

目录

上页

下页

返回

结束

例4. 已知三点 A(1, 2 , 3 ) , B( 3 , 4 , 5 ), C ( 2 , 4 , 7 ) , 求三 角形 ABC 的面积 .解: 如图所示, 1 S ABC AB AC sin 2 1 AB AC 2

B

A

C

目录

上页

下页

返回

结束