第四章 数字滤波器的原理和设计方法

第四章 数字滤波器的原理和设计方法课后习题答案 4.1 一个离散时间系统由下列差分方程表示： y(n)

34

y(n 1)18

y(n

2 )

1

x)

3

x( n

1)

画出实现该系统的方框图。

(1) 画出该系统的信号流程图。

解 图4.1（a）和（b）所示的分别是该系统的方框图和流程图。

x(

n

y(n)

（a）

x(n) y(n)

(b)

4.2 试求出图P4.2所示的两个网络的系统函数，并证明它们具有相同的极点。

x(n)

y(n)

网络Ⅰ

x(n)

1

in

y(n)

1

网络Ⅱ

解 网络Ⅰ：根据信号流程图写出差分方程 y(n) 2rc osy n(由差分方程得系统函数

H1(z)

Y(z)X(z)

1

1 2rcos z

1

(rz

1

1

1)ry n(

2

2) xn(

)

rz

2 1

e

j

)(rz

1

e)

j

由上式求出极点：

z1 re

j

j

和 z2 re

网络Ⅱ： 由图所示的原网络写出以下方程

W(z) X(z) (rsin )zY(z) (rcos )zW(z)Y(z) (rsin )zW(z) (rcos )zY(z)

1

1

1

1

①

②

由式①得 W(z)

X(z) (rsin )zY(z)

1 (rcos )z

1 1

③

将③代入式②，得

Y(z)

(rsin )zX(z) (rsin )zY(z)

1 (rcos )z

1

1

2

2

2

(rcos )zY(z)

1

由上式得系统函数 H(z)

Y(z)X(z)

(rsin )z1 2(rcos )z

1 1

rz

2 2

1

(rsin )z(rz

1

e

j

)(rz 1

ej

)

极点 z1 rej 和 z 2 re j 可见网络Ⅰ和网络Ⅱ具有相同极点。

4.3 一个因果线性离散系统由下列差分方程描述： y(n)-314

y(n-1)+

18

y(n-2)=x(n)+

3

x(n-1)

试画出下列形式的信号流程图，对于级联和并联形式只用一阶节。(1) 直接Ⅰ型； (2) 直接Ⅱ型； (3) 级联型； (4) 并联型。 解 （1）直接Ⅰ型

x(n)

y(n) 1 1

-1/8

（2）直接Ⅱ型

x(n)

-1/8

（3）级联型

y(n)

x(n)

y(n)

z 1

1/4 1/3 1/2

将系统函数写成

1

1 1

H(z)

z

1

1

1 1

4z

1

12z

1

（4）并联型

x(n)

1/2

将系统函数写成部分分式形式 H(z)

7/3

10/3

1

1 1

4z

1

12z

1

4.4 用直接Ⅰ型和直接Ⅱ型结构实现以下系统函数； (1) H(z)= 5 2z 1

0.5z

21 3z

1

3z 2

z

3

3

2

(2) H(x)=0.8

3z 2z 2z 5z3

4z2

3z 2

解 (1)根据系统函数写出差分方程

y(n) 3y(n 1) 3y(n 2) y(n 3) 5x(n) 2x(n 1) 0.5x(n 2)

y(n)

直接Ⅰ型结构可根据系统函数或差分方程得到，如图所示

x(

y(n)

1

1

1

将直接Ⅰ型结构中两个级联系统的位置互换，并省去前向网络的两个单位延迟器，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构。

x(n y(n)

（2）由系统函数写出差分方程 或

y(n) 1.5yn(

1)y2n (

1)

2)

y0.n 5

(

2x(n) 0.x8n(

0x.n8 ( 2)x1n .2

2y(n)

3y(n

1 )

y4n ( 1)

2)yn (

3)

4x(n) 1.x6n(

1x.n6 ( 2)x2n .4

(3)

(3)

根据系统函数或差分方程得到下图所示的直接 型结构的信号流程图。

x(n)

y(n)

1

1

1

交换直接 型结构中两个级联系统的次序，并让3个延时器共用，便得到下图所示的直接Ⅱ型结构的信号流程图。

x(n) y(n)

4.5 用级联型和并联型结构实现以下系统函数，每个二阶节都采用直接Ⅱ型结构。 H(z)= /

解 （1）级联结构

根据H(z)的表示式可直接画出级联型结构的信号流程图，如下图所示。

5(1 z)(1 1.4412z(1 0.5z)(1 1.2728z

1

1 1

z

2

)

2

1

0.81z)

x(n

)

y(n)

-0.81 1

（2）并联型结构 将H(z)用部分分式表示为 H(z) 12.346

3.978 3.566 4.858z 1

1 0.5z

1

1 1.2728z

1

0.81z

2

按上式可画出并联型结构的信号流程图，如下图所示。

x(n)

y(n)

-0.81

4.6 试证明当FIR滤波器的冲激响应具有奇对称性质，即h(n)=-h(N-1-n)时，其相位具有分段线性的性质，即

( ) (

N 12

)

2

具有

(1) 当N为奇数时，滤波器的幅度响应为

(N 1)/2

H( )

c(n)sin( n)

n 1

其中，c(n) 2h(

N 11)2

n),n=1,2,…,

(N 2

。

(2) 当N为偶数时，滤波器的幅度响应为

N/2

H( )

d(n)sin[ (n

1n 1

2

)]

其中，d(n) 2h(

N2

n),n=1,2,…,

N2

。

对于以上两种情况，幅度响应和相位响应曲线如图P4.6所示。

h(n

)n

h(n

)

H( )

2

/

(N 3

2)

图P4.6

解 （1）因滤波器的冲激响应具有反对称性质，即

h(n) h(N 1 n)

故当N为奇数时，有

h(N 12

j

) h(

N 12

N 3

) 0

N 12

H(e) e

j

N 12

n 0

2

j2h(n)sin(( n) )

因此

e

j

N 12

N 3

j

2

n 0

2

2h(n)sin((

N 12

n) )

上式中n用

N 12

j

n置换，得

N 1

N 12

H(e) e

j(

2

)

n 1

2

2h(

N 12

n)sin( n)

由于滤波器的频率响应为 H(ej ) H( )ej ( ) 所以 H(ej ) H( )ej ( ) 令 c(n) 2h( H( )

N

N 12

N), n=1,2,…,

N 12

得滤波器的幅度响应

(N 1)/2

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