数值分析课程设计_多项式插值的振荡现象matlab

数值分析 课程设计

多项式插值的振荡现象

（姓名） （学号）

指导教师

学院名称 专 业 名 称 提交日期

2012年6月

一、 问题的提出

考虑在一个固定区间上用插值逼近一个函数。显然，Lagrange插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项式增加时，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函数。龙格(Runge)给出的一个例子是极著名并富有启发性的。设区间[-1,1]上的函数

1

f(x)

1 25x2

考虑区间[-1,1]的一个等距划分，节点为

2i

xi 1 ,i 0,1,2, ,n

n

则拉格朗日插值多项式为

Ln(x)

1

(x) 2i

i 01 25xi

n

其中的ai(x),i=0,1,2,…,n是n次Lagrange插值基函数。

二、 实验内容

研究以下三个函数在各自区间上运用不同的划分

1

,x [ 1,1] 1、f(x)

1 25x2

x

,x [ 5,5] 2、h(x) 4

1 x

3、g(x) arctanx,x [ 5,5]

运用在区间[-p,p]上等距划分（p>0）,节点为

2i

xi p ,i 0,1,2, ,n

n

以x0,x1,…,xn为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式。 运用区间[a,b]上切比雪夫(Chebychev)点的定义为

xk

(2k 1) b ab a

cos 22 2(n 1)

,k 1,2, ,n 1

以x1,x2,…,xn+1为插值节点构造上述各函数的Lagrange插值多项式，比较其结果。

并分别比较两种划分方法，增加节点数，最大误差的变化。

三、 实验结果及分析

（一） 等距划分

对于函数f(x)

1

,x [ 1,1]来说，使用等距划分

1 25x2

其中绿色点线代表误差，红色划线代表Lagrange插值多项式，蓝色实线代表原函数。

可见对于等距划分来说节点数越多，最大误差越大，可是越靠近中间的误差越少。越接近两个端点的误差越大。当节点数很大时，最大误差的来源只与靠近两个端点的误差有关。

例如：n=20时

对于h(x)

x

,x [ 5,5]，使用等距划分

1 x4

当n=25时

对于g(x) arctanx,x [ 5,5]，使用等距划分

当n=30时，

从以上三个函数图像来看，可见节点越多，靠近端点处取得最大误差，并且最大误差越大。这就是龙格现象。

（二） 切比雪夫(Chebychev)点

1

,x [ 1,1]

首先研究f(x) 2

1

25x

当n=20时

可是当

n=30

同样的n=40，50也出现了两端误差增大现象。

然后研究h(x)

x

,x [ 5,5]

1

x4

当n=25时

同样的n=30，50也会出现龙格现象。

最后研究g(x) arctanx,x [

5,5]

当n=25时

此函数也不例外。

由以上三个函数，通过不断改变n的值，可得运用切比雪夫点来划分，要使最大误差小于0.1，n一般取12到20间的数。

（三） 综述

对于Lagrange插值多项式，运用等距划分取节点时，n要不能取得太大，一般n=8或8左右。若要使n取得更大，那么需要使代入到函数的点尽量在区间的中间，这样才能使真值与计算出来的值的误差尽可能的小。

运用切比雪夫点来划分取节点时，n一般取12到20间的数。无论要代入到函数的点在区间的那个位置，都能使误差尽可能的小。若要使n取得更大，那么需要使代入到函数的点尽量在区间的中间，这样才能使真值与计算出来的值的误差尽可能的小。若n取的较小，同样误差也是很大的。

对于以上两种取节点的方法，都不能避免龙格现象的出现。对于不同的选取节点的方法，只要n取得合适，同时代人函数的点适合，那么就可以使误差尽可能的减少。

四、 关于本设计的体会

为了完成本设计，接触了一个数学软件matlab，并能初步运用本软件，编写程序，方便了以后对数学的研究。

并且对于编写过程中遇到的错误，显示不正确等，通过网络搜索查询，能解决这些问题。例如运用fminbnd函数时，显示的并不是正确的答案，后来百度了一下，明白了此函数的运作原理，并最终能显示我想得到的结果。

当然对于我所编写的程序，我也就只能做到这一步，也是碍于时间关系，和对matlab不熟悉，并不能更好的完善下去。有时取值很大时，运行起来，运行得很慢，这是一大缺陷。主要是循环次数太多，和找不到更好的函数代替所造成的。其他的缺点也就不一一的列举了。

学习一个软件需要耐心，细心。多寻找，多发现，多创作才能深入了解一个软件。同样的道理，这也是做任何事所需要的素质。

五、 参考文献

数值分析（第三版）——北京理工大学出版社 六、 附录

所的运用软件及编号MATLAB 7.0

（图略）

所用电脑的版本、型号与系统

（图略）

用户界面设计 文件名：kcsjx.fig

用户界面程序，运行kcsjx.m来调用主要程序 文件名：kcsjx.m

function varargout = kcsjx(varargin) % KCSJX M-file for kcsjx.fig

% KCSJX, by itself, creates a new KCSJX or raises the existing % singleton*. %

% H = KCSJX returns the handle to a new KCSJX or the handle to % the existing singleton*. %

% KCSJX('CALLBACK',hObject,eventData,handles,...) calls the local

% function named CALLBACK in KCSJX.M with the given input arguments. %

% KCSJX('Property','Value',...) creates a new KCSJX or raises the % existing singleton*. Starting from the left, property value pairs are % applied to the GUI before kcsjx_OpeningFunction gets called. An % unrecognized property name or invalid value makes property application % stop. All inputs are passed to kcsjx_OpeningFcn via varargin. %

% *See GUI Options on GUIDE's Tools menu. Choose "GUI allows only one

% instance to run (singleton)". %

% See also: GUIDE, GUIDATA, GUIHANDLES

% Copyright 2002-2003 The MathWorks, Inc.

% Edit the above text to modify the response to help kcsjx

% Last Modified by GUIDE v2.5 04-Jun-2012 16:03:46

% Begin initialization code - DO NOT EDIT gui_Singleton = 1;

gui_State = struct('gui_Name', mfilename, ...

'gui_Singleton', gui_Singleton, ...

'gui_OpeningFcn', @kcsjx_OpeningFcn, ... 'gui_OutputFcn', @kcsjx_OutputFcn, ... 'gui_LayoutFcn', [] , ... 'gui_Callback', []); if nargin && ischar(varargin{1})

gui_State.gui_Callback = str2func(varargin{1}); end

if nargout

[varargout{1:nargout}] = gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); else

gui_mainfcn(gui_State, varargin{:}); end

% End initialization code - DO NOT EDIT

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