人教版九年级二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)试题

人教版九年级二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)试题

二次函数的存在性问题（相似）

已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。 (1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标； (3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

人教版九年级二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)试题

[07江苏苏州]设抛物线y ax2 bx 2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)， 与y轴交于点C.且∠ACB=90°． (1)求m的值和抛物线的解析式；

(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y x 1交抛物线 于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与 △AEB相似，求点P的坐标．

(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________． 解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．

∴ △AOC ∽△COB,．∴OA·OB=OC2

；∴OB=

OC222

OA 1

4 ∴m=4．

人教版九年级二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)试题

[08年湖南省湘潭]已知抛物线y ax2 bx c经过点A（5，0）、B（6，-6）和原点. （1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点B的直线y kx b 与抛物线相交于点C（2，m），请求出

4 2

G 1 2

2 -4

y

C

OBC的面积S的值.

（3）过点C作平行于x轴的直线交y轴于点D，在抛物线对称轴右侧位于 直线DC下方的抛物线上，任取一点P，过点P作直线PF平行于y轴交x轴 于点F，交直线DC于点E. 直线PF与直线DC及两坐标轴围成矩形OFED （如图），是否存在点P，使得 OCD与 CPE相似？若存在，求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由.

x

25a 5b c 0 a 1

解：（1）由题意得： 36a 6b c 0 解得 b 5

c 0 c 0

故抛物线的函数关系式为y x 5x （2） C在抛物线上， 22 5 2 m, m 6

2

-6

C点坐标为（2，6）， B、C在直线y kx b 上

6 2k b

解得k 3,b 12

6 6k b

直线BC的解析式为y 3x 12

设BC与x轴交于点G，则G的坐标为（4，0）

11

S OBC 4 6 4 6 24

22

（3）存在P，使得 OCD∽ CPE 设P(m,n)， ODC E 90

故CE m 2,EP 6 n

ODDCODDC

若要 OCD∽ CPE，则要或 CEEPEPCE

6262

即或 m 26 n6 nm 2解得m 20 3n或n 12 3m

m 20 3n n 12 3m

又 (m,n)在抛物线上， 或 22

n m 5m n m 5m

10 m m1 2 m2 6 13 m2 2

, ,或 解得 , n 650n 6n 6 2 1 2 n

1 9

1050

故P点坐标为(和(6, 6) ················································································ 10分

39

（只写出一个点的坐标记9分）

人教版九年级二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)试题

[08江苏苏州]如图，抛物线y a(x 1)(x 5)与x轴的交点为M，N．直线y kx b与x轴交于

P( 2，0)，与y轴交于C．若A，B两点在直线y kx

b上，且AO BO AO BO．D为线段MN的中点，OH为Rt△OPC斜边上的高．

（1）OH的长度等于 ；k ，b ． （2）是否存在实数a，使得抛物线y a(x 1)(x

5)满足以D，N，E为顶点的三角形与△AOB相似？

同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点

（简要说明理由）；并进一步探索对符合条件的每一个 E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足 PB PG

解：（1）OH 1；k ，b

（2）设存在实数a，使抛物线y a(x 1)(x 5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．

以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形． ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED DN．

E的坐标为(2， ED DN 3．，0)，N(5，0)． D(2，0)，3)．由抛物线y a(x 1)(x 5)得：M( 1

11

3)代入抛物线解析式，得a ． 抛物线解析式为y (x 1)(x 5)． 把E(2，

33

1245

即y x x ．

333

，． ②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE EN，DE EN． E的坐标为(3.51.5)

2

，代入抛物线解析式，得a ． 把E(3.51.5)

9

22810

抛物线解析式为y (x 1)(x 5)，即y x2 x

9999

11245

3)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件当a 时，在抛物线y x x 上存在一点E(2，

3333

，，的E点，不妨设为E 点，那么只有可能△DE N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E (3.51.5)

12451245

显然E 不在抛物线y x x 上，故抛物线y x x 上没有符合条件的其他的E点．

333333

222810

当a 时，同理可得抛物线y x x 上没有符合条件的其他的E点．

9999

145

3)，对应的抛物线解析式为y x2 x 时， 当E的坐标为(2，

333

△EDN和△ABO都是等腰直角三角形， GNP PBO 45 ．又 NPG BPO，

PGPN

△NPG∽△BPO． ， PB PG PO PN 2 7 14， 总满足PB PG

POPB

2810

，，对应的抛物线解析式为y x2 x 时， 当E的坐标为(3.51.5)

999

同理可证得：PB PG PO PN 2 7 14， 总满足PB PG

人教版九年级二次函数的存在性问题(相似三角形的存在性问题)试题

[08年内蒙锡林郭勒盟]如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B． （1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍；

（3）连结OA，AB，在x轴下方的抛物线上是否存在点N，使△OBN与△OAB相似？若存在，求出N点的坐标；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意可设抛物线的解析式为y a(x 2)2 1 ∵抛物线过原点

1

∴a(0 2)2 1 0 ∴a

41

∴抛物线的解析式为y (x 2)2 1

4

1

即y x2 x.

4

（2）∵△AOB与△MOB同底不等高 又∵S△MOB=3 S△AOB

∴△MOB的高是△AOB高的3倍 即点M的纵坐标是 3

1

∴ 3 x2 x

4

2

x 4x 12 0

解得 x1 6，x2 2

3) M2( 2， 3) ∴M1(6，

（3）由抛物线的对称性可知：

AOB ABO AO=AB

若△OBN与△OAB相似

必须有 BON BOA BNO

1) 显然 A'(2，

1

∴直线ON的解析式为y x … …… 此处隐藏：5743字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……