2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案解析(2)

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.在如下图所示的正方体ABCD ABCD中， 二面角A BD C等于

2.如果三角形 ABC的三个内角A,B,C满足

'

'

'''

'

cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角B的最大值是

3.实数列 an 满足条件：a1

2n 1,a2 2 1,an 1 an 1 2(n 2)， 2an an 1

则通项公式an (n 1)。

x2y2

4.F1,F2是椭圆2 2 (a b 0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果 PF1F2的面积为1，

ab1

tan PF1F2 ,tan PF2F1 2,则a 2

1

5.在同一直角坐标系中，函数f(x) ax 4(a 0)与其反函数f(x)的图像恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是 6. 已知正实数a1,a2, ,an与非负实数b1,b2, ,bn满足(1) a1 a2 an b1 b2 bn n; (2) a1a2 an b1b2 bn

bbb 1

，则 a1a2 an 1 2 n 的最大值为__________．

an 2 a1a2

7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2, ,2014克的物品，

砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克．

8.设g(x)

二、简答题（本大题共3小题，共56分）

9.（16分）设数列 an 的前n项和Sn组成的数列满足

x(1 x)是定义在区间 0,1 上的函数，则函数y xg(x)的图像与x轴所围成图形的面积是

Sn Sn 1 Sn 2 6n2 9n 7(n 1)，已知a1 1,a2 5,求数列 an 的通项公式。

3

10.（20分）设x1,x2,x3,是多项式方程x 10x 11 0的三个根。 （1）已知x1,x2,x3,都落在区间( 5,5)之中，求这三个根的整数部分； （2）证明：arctanx1 arctanx2 arctanx3

4

x2

y2 1,A( 2,0),B(0, 1)是椭圆 上的两点，直线11.（20分）如下图，椭圆 :4

l1:x 2,l2:y 1.P(x0,y0)(x0 0,y

0 0)是 上的一个动点，l3是过点P且与 相切的直线，C,D,E分别是直线l1与l2，l2与l3，l1与l3的交点， 求证：三条直线AD,BE和CP共点。

一、填空题（每小题8分，共64分）

1.在如下图所示的正方体ABCD ABCD中，二面角A BD C等于 解：arccos

'''

'

'

'

1 3

2.如果三角形 ABC的三个内角A,B,C满足cotA,cotB,cotC依次成等差数列，则角B的最大值是

解：

3xy 1

z.即xy yz zx 1.消去z后，得到x2 2xy (1 2y2) 0，方程有实根， 且

x y

2

.记x cotA,y cotB,z cotC，则2y x z.由于x,y,z至多一个负数，故y 0，

即B 且A B C 时等号成立 333

n2

3.实数列 an 满足条件：a1 1,a2 2 1,an 1 an 1 2(n 2)，则

an (n 1)

2an an 1

1.计算前几项可以猜出结果，再用数学归纳法可以证明.

x2y2

4.F1,F2是椭圆2 2 (a b 0)的两个焦点，P为椭圆上任意一点，如果 PF1F2的面积为1，

ab1

tan PF1F2 ,tan PF2F1 2,则a 2

1解：.不妨假定F1( c,0),F2(c,0)(c 0),设P(x0,y0).则F1P的斜率为k1 ，F2P的斜率为k2 2，

22

5442因此x0 c 2y0，y0 2(x0 c)解得x0 c,y0 c,又S△PF1F2=cy0 c 1，所以c ，

3332

,.从而2a PF1 PF2 ，所以a 点P( 632

5.设g(x) x(1 x)是定义在区间 0,1 上的函数，则函数y xg(x)的图像与x轴所围成图形的面积是所以△ 12y 4

0，故cotB y

6. 已知正实数a1,a2, ,an与非负实数b1,b2, ,bn满足(1) a1 a2 an b1 b2 bn n; (2) a1a2 an b1b2 bn

bbb 1

，则 a1a2 an 1 2 n 的最大值为__________． 2an a1a2

a1 b1 a2 b2 an bn 1

解：.由均值不等式知: a1 b1 a2 b2 an bn 1,

n2

于是 a1a2 an b1b2 bn b1a2a3 an a1b2a3 an a1a2a3 bn 1, 即a1a2 an

n

b1b2b 1

n 1 a1a2 an b1b2 bn .

an 2 a1a2

1

满足条件,且取到最大值. 2

7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出1,2, ,2014克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量

取a1 a2 an 1,b1 b2 bn 1 0,bn 最小值为________________克．

解：147.设这20块砝码质量为a1 a2 a20.首先用归纳法证明: ak 2

n

7

k 1

(k 11).（1）当k 1时,显然,

n 1

（2）设结论对k 1,2, ,n成立，若an 1 2(n 10)，则由a1 a2 an 1 2 2克的物品无法称量，矛盾！于是，a1 a2 a8 1 2 2 255， 所以a9 a10 a20 2014 255 1759，所以a20

2n 1知2n

1759

146，即a20 147，又当ak 2k 1(k 8)，12

a9 a10 a20 147时，符合条件，故最小值为 147克．

8.在同一直角坐标系中，函数f(x) a

的取值范围是 ax 4(a 0)与其反函数f 1(x)的图像恰有三个不同的交点，则实数

二、简答题（本大题共3小题，共56分）

9.（16分）设数列 an 的前n项和Sn组成的数列满足

Sn Sn 1 Sn 2 6n2 9n 7(n 1)，已知a1 1,a2 5,求数列 an 的通项公式。

10.（20分）设x1,x2,x3,是多项式方程x 10x 11 0的三个根。（1）已知x1,x2,x3,都落在区间( 5,5)之中，求这三个根的整数部分；（2）证明：arctanx1 arctanx2 arctanx3

3

4

x2

11.（20分）如下图，椭圆 : y2 1,A( 2,0),B(0, 1)是椭圆 上的两点，直线

4

l1:x 2,l2:y 1.P(x0,y0)(x0 0,y0 0)是 上的一个动点，l3是过点P且与 相切的直线，C,D,E分别是直线l1与l2，l2与l3，l1与l3的交点， 求证：三条直线AD,

BE和CP

共点。

解答三：利用赛瓦定理

二（本题满分40分）

如图，在 ABC中，AB AC，H为 ABC的垂心，M为边BC的中点，点S在边BC上且满足 BHM CHS，点A在直线HS上的射影为P.证明： MPS的外接圆与 ABC的外接圆相切.

三（本题满分50分）

整数a,b,c,d满足ad bc 1.求a2 b2 c2 d2 ab cd ac bd bc的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组 a,b,c,d

四（本题满分50分）

设整数n 2,G 0,1, ,n 1 ，A,B G，对x G，记fAB(x)为满足a b x(modn)，a A，

b B的数组(a,b)的个数，类似定义fAA(x)，fBB(x).

证明：

x G

2fAB(x) fAA(x) fBB(x).

x G

解：根据运算“Å

x为整数，进而

x)Å2y=

x)+2y]=

x)+[2y]=x]+

[2y]

=2[x]+2[y]+{x}]+[2{y}]， ①

其中{x},{y}表示x,y的小数部分．同理可知

y)Å2x=2[y]+2[x]++{y}]+[2{x}]． ②

比较①、②可知，x)Å2y=y)Å2x当且仅当

{x}]+[2{y}]={y}]+[2{x}]．

由于[2{x}],[2{y

}]Î{0,1}，而

{x}]与{y}]均是偶数，故上式成立的充分必要条件是

{x}]={y}]，且[2{x}]=[2{y}]． ③

若{x},{y}Î[0,3-，则[2{x}]=

[2{y}]=0，[{x}]={y}]=

2． 若{x},{y}Î[3-1

，则[2{x}]=

[2{y}]=0，[{x}]={y}]=3． 2

1

若{x},{y}Î[,1)，则[2{x}]=

[2{y}]=1，[{x}]={y}]=3．

2

11

当{x},{y

}取自[0, …… 此处隐藏：4514字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……