高一数学教案：幂函数

第一课时

幂

函

数

第一课时

问题情境 问题1:如果张红购买了每千克1元的水果 w千克，那么她需要付的钱数p(元)和购 买的水果量w(千克)之间有何关系？

P=W

第一课时

问题2:如果正方形的边长为a,那么正方形的面积， 2 这里S是a的函数。 s a 问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积 3 V a 这里V是a的函数。 问题4:如果正方形场地的面积为S,那么正方形的 1 边长 a S 2 ,这里a是S的函数 问题5:如果某人s内骑车行进了1km,那么他骑车 的速度 V t 1 km/s,这里v是t的函数。

第一课时

y x, y x , y x , y x , y x2 3

1 2

1

定义：一般地，函数f(x)=x 叫做幂函数，其中x是 自变量， 是常数。

第一课时

我来试一试 判断下列函数哪些是幂函数？1 5

(1) y

0.2 3

x

(2)(4)

y x

(3) y x

y x

2

第一课时

几个常见幂函数的图象和性质

在同一坐标系内画出幂函数

y x, y x , y x , y x2 3

1 2

的图象 利用EXCEL列表、描点、连线

第一课时

x

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05

y=x^2

0

y=x^3

0

y=x^(1/2)0

0.0025 0.01 0.0225 0.04 0.0625 0.09 0.1225 0.16 0.2025 0.25 0.3025 0.36 0.4225 0.49 0.5625 0.64 0.7225 0.81 0.9025 1 1.1025

0.000125 0.223606798 0.001 0.316227766 0.003375 0.387298335 0.008 0.447213595 0.015625 0.5

3

2

0.027 0.547722558 0.042875 0.591607978 0.064 0.632455532 0.091125 0.670820393 0.125 0.707106781 0.166375 0.741619849 0.216 0.774596669 0.274625 0.806225775 0.343 0.836660027 0.421875 0.866025404 0.512 0.894427191 0.614125 0.921954446 0.729 0.948683298 0.857375 0.974679434 1 1

1

0 -1 -1 0 1 2

-2

"y=x^2 y=x^3 y=x^(1 y=x

-2

-3

1.157625 1.024695077

第一课时

y x y x定义域 值域

2

y x

3

y x

1 2

y x

1

R R奇函数

R 0, (0, ) ( ,0) 0, R 0, (0, ) R( ,0)

奇偶性 单调性

偶函数[0, )增 ( ,]减 0

奇函数

非奇非 偶[0, )增

奇函数(0, )减 ( ,)减 0

, 增

, 增

第一课时

根据上表的内容并结合图象，可以得到

y x, y x , y x , y x2 3

1 2

的共同性质为

①图象都过点(1,1),(0,0) ②函数在 0, 上单调递增 幂函数f(x)=x 的性质：

1。 >0时，(1)图象都经过点(0,0)和(1,1); (2)图象在第一象限是增函数。

第一课时

当 <0时，幂函数f(x)=x 的性质如何呢？

几何画板课件演示

第一课时

幂函数f(x)=x 的性质：

2。 <0时，(1)图象都经过点(1,1);(2)图象在第一象限是减函数,且 向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。

利用drawtools软件作图演示

第一课时

图象的性质幂函数f(x)=x 的性质：

1。 >0时，(1)图象都经过点(0,0)和(1,1); (2)图象在第一象限是增函数。

2。 <0时，

(1)图象都经过点(1,1);(2)图象在第一象限是减函数,且 向右无限接近X轴，向上无限接近Y轴。

第一课时

例题剖析 例1、求下列幂函数的定义域，并指出其 奇偶性、单调性

(1) y x

2 32 3

(2) y x3

3 22

(3) y x

2

是偶函数，它在 0, 上单调递增， 在 , 上单调递减。 0

(1)函数y x 即y x ,其定义域为 ,

第一课时

(2)函数y x 即y

3 2

13

,由x 0得其3

x 定义域为 0, ,它既不是奇函数，也 (3)函数y x 的定义域是 , 0, ,原函数 0 2

不是偶函数，在 0, 上单调递减。 2

1 解析式可化为y x 2 ,由此可知当自变量的值 x 2 互为相反数时，函数值是相等的。因此函数y x 是定义域上的偶函数，且函数y x 在区间 2

, 和 0, 上都是单调递减的。 0

第一课时

总结：解决有关函数求定义域的问题时，

可以从以下几个方面来考虑，列出相应 不等式或不等式组，解不等式或不等式 组即可得到所求函数的定义域

函数解析式中含有分母，分母不能为0; 若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负 0的0次幂没有意义； 若函数解析式中含有对数式，要注意对数的 真数大于0; 函数的定义域的本质是解不等式或不等式组。

第一课时

结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它 们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这 一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的 幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为 分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件 来求出对应函数的定义域。

判断幂函数的单调性：第一象限利用性质， 其余象限利用函数奇偶性与单调性的关系。