线性代数2_3逆矩阵

第3节 逆矩阵(inverse matrix)3.1 逆矩阵的定义 3.2 方矩阵可逆的充分必要条件 3.3 可逆矩阵的性质

3.4 用逆矩阵求解线性方程组3.5 用逆矩阵求解矩阵方程 3.6 伴随矩阵的常用性质

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第3节1. 逆矩阵概念的引入 解方程组 x1 x2 3 x1 x2 1

逆矩阵

3.1 逆矩阵的概念

1 1 x1 3 解：将其写成矩阵方程 1 1 x 1 2

那么,F 矩阵 是怎么得到 的呢？

1 / 2 1 / 2 两边都左乘矩阵F得 ( F 1 / 2 1 / 2 ) 1 / 2 1 / 2 1 1 x1 1 / 2 1 / 2 3 1 / 2 1 / 2 1 1 x 1 / 2 1 / 2 1 2 x1 1 1 0 x1 1 0 1 x 2 x 2 2 2 从而得方程组的解: x1 1 , x2 2

.

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2. 可逆矩阵的定义

定义1 对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B,使得 AB BA E, 那么矩阵A称为可逆的，而B称为A的逆矩阵.逆矩阵的唯一性 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. 这是因为，如果B和B1都是A的逆矩阵，则有 AB BA E, AB1 B1A E

于是

B BE B(AB1) ( BA)B1 EB1 B1 .

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2. 可逆矩阵的定义定义1 对于n阶矩阵A,如果存在n阶矩阵B,使得 AB BA E, 那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵. 定理1 如果矩阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的. A的逆矩阵记为A 1 . 即若AB BA E ,则B A 1 . 由于A,B位置对称，故A,B互逆，即B A 1, A B 1. 如 1 1 3 A 2 1 4 1 2 4 可以验证， AB BA E《线性代数》 返回

4 2 1 B 4 1 2 3 1 1

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比较—逆矩阵与倒数在数的运算中，当数a 0时， 有

aa a a 1,1 为a 的倒数， 其中 a (或称 a 的逆); a 1

1

1

在矩阵的运算中， 单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1,那么，对于矩阵A, 如果存在一个矩阵A-1 ,

使得

AA 1 A 1 A E ,

A 1即为 A 的可逆矩阵或逆阵. 则矩阵《线性代数》 返回 下页 结束

2 1 , 求A的逆阵. 例1 设 A 1 0 解 利用待定系数法 a b 是 A 的逆矩阵, 则 设 B c d 2 1 a b 1 0 2a c 2b d 1 0 AB b 0 1 1 0 c d 0 1 a 2a

c 1, 2b d 0 , a 0, b 1, 《线性代数》

a 0, b 1, c 1, d 2. 返回 下页

0 1 B 1 2

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例1

设

2 A 1

1 , 求A的逆阵. 0

又因为

0 1 B 1 2

AB

BA

2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1 所以

0 1 A . 1 2 1

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3.23. 伴随矩阵

方阵可逆的充分必要条件 a12 a1n a22 a2n 的代数余子式构成的矩阵 an2 ann 特别注意 A21 An1 A*的元素 A22 An2 排列顺序 A2n Ann

a11 a 定义2 由矩阵 A 21 an1 A11 A12 A1n

称为矩阵A的伴随矩阵，记为A* .即

A11 A12 *= A A1n《线性代数》

A21 A22 A2n

An1 An2 Ann下页 结束

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1 1 1 例1. 求 A 1 2 3 0 1 1

的伴随矩阵A*.

解: 三阶矩阵A的伴随矩阵A*为

A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A331 2

A11 ( 1)

1 1

2 3 1 1

5 , A12 ( 1)

1 3 0 1

1

同理 A13=1, A21=-2, A22=1, A23=-1, A31=-1, A32=2, A33=1 5 2 1 * 因此A的伴随矩阵 A 1 1 2 1 1 1 《线性代数》 返回 下页 结束

4. (非)奇异矩阵 定义3 对于n阶矩阵A,若行列式|A| 0,则称A是奇异的 (或降秩的或退化的),否则称A为非奇异的(或满秩的或非退 化的) .5. 方阵可逆的充分必要条件

定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A| 0,而且 1 A 1 — A*,其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A|证：必要性. 设A可逆， 即有A 1,使AA 1 E ,

故|A|· 1| |E| 1, 所以|A| 0,即A为非奇异. |A

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定理2 n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是|A| 0,而且 1 1 — A*, A 其中A*为方阵A的伴随矩阵. |A| 1 设A非奇异， 取 B — A* 证： 充分性. |A| 1 1 * 1 * — |A| E=E . (即 AB = E.) 则有 AB A( — A ) — AA |A| |A| |A| 注意： |A| 0 0 a11 a12 a1n A11 A21 An1 0 |A| 0 * a21 a22 a2n A12 A22 An2 AA |A|E 0 0 |A| an1 an2 ann A1n A2n Ann 1 1 — A* . 同理可证BA E . 因此A可逆，且A |A|《线性代数》 返回 下页 结束

1 矩阵 A 可逆 |A| 0; A 1 — A* . |A|

1 0 1 例2.

求矩阵 A 2 1 0 的逆矩阵. 3 2 51 0 1 解: 因为 |A| 2 1 0 2 0,所以A可逆. 3 2 5

5 2 1 A11 A21 A31 又因为 A* A12 A22 A32 10 2 2 A13 A23 A33 7 2 1

,

5/2 1 1/2 1 * 1 5 2 1 所以 A 1 — A — 10 2 2 5 1 1 . |A| 2 7 2 1 7/2 1 1/2《线性代数》 返回 下页 结束

讨论：(1)如何求二阶矩阵 A 提示：

a11 a12 的逆矩阵。 a21 a22

(2)如何求对角矩阵的逆矩阵。

A11 A21 a22 a12 a11 a12 * , a11a22 a12a21, A (1) |A| A12 A22 a21 a11 a21 a22A 1 (2) a11 1 0 A 0 0 a22 0 0 ann 0 1

a22 a12 1 * 1 — A ————— . a11a22 a12a21 a21 a11 |A| 1 a 11 0 0 返回

0 1 a22 0

0 0 , aii 0 ( i 1, 2, , n) 1 ann 下页 结束

《线性代数》

推论 设A,B都是n阶矩阵，若AB E ,则必有BA E; 若BA E ,则必有AB E.

这一结论说明，如果要验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵，只要 验证一个等式AB E或BA E即可.例3.设n阶矩阵A满足aA2 bA cE O,证明A为可逆矩阵， 并求A 1(a, b, c为常数，且c 0) .

解: 由aA2 bA cE O,有aA2 bA cE, 又因c 0,故有 c 1(aA2 bA) E, 即 c 1(aA bE )A E,

因此A可逆，且A 1 c 1aA c 1bE .《线性代数》 返回 下页 结束

思考 设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 :

A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵 .

证明

由A2 A 2 E 0,

A 1

A E E 得A A E 2 E A 2 1 1 故A可逆 . A A E . 2

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思考 设方阵A满足方程A2 A 2 E 0, 证明 :

A, A 2 E都可逆, 并求它们的逆矩阵 .

又由A2 A …… 此处隐藏：1842字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……