2018届高考数学(理)大一轮复习设计(教师用) 第一章 第二节 命题

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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件☆☆☆2017考纲考题考情☆☆☆

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自|主|排|查

1．命题

(1)命题的概念

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

(2)四种命题及相互关系

(3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。

2．充分条件、必要条件与充要条件的概念

q

p

p p

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微点提醒

1．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，命题的否定只否定结论。

2．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。

3．“p 是q 的充分不必要条件”即为“p ?q 且q

p ”；“p 的充分不必要条件是q ”即为“q ?p 且p q ”。

小|题|快|练

一 、走进教材

1．(选修1－1P 10练习T 3(2)改编)“(x ＋1)(y －2)＝0”是“x ＝－1且y ＝2”的________条件。

【解析】 因为(x ＋1)(y －2)＝0，

所以x ＝－1或y ＝2，

所以(x ＋1)(y －2)＝0x ＝－1且y ＝2，

x ＝－1且y ＝2?(x ＋1)(y －2)＝0，

所以是必要不充分条件。

【答案】 必要不充分

2．(选修1－1P 8习题1.1A 组T 2(1)改编)“若a ，b 都是偶数，则ab 必是偶数“的逆否命题为________。

【解析】 “a ，b 都是偶数”的否定为“a ，b 不都是偶数”，“ab 是偶数”的否定为“ab 不是偶数”，故其逆否命题为“若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”。

【答案】 若ab 不是偶数，则a ，b 不都是偶数

二、双基查验

1．(2016·天津高考)设x >0，y ∈R ，则“x >y ”是“x >|y |”的( )

A ．充要条件

B ．充分而不必要条件

C ．必要而不充分条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 由x >y 推不出x >|y |，由x >|y |能推出x >y ，所以“x >y ”是“x >|y |”的必要而不充分条件。故选C 。

【答案】 C

2．命题“若α＝π4

，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1

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C ．若tan α≠1，则α≠π4

D ．若tan α≠1，则α＝π4

【解析】 以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4

”。故选C 。 【答案】 C

3．设集合A ，B ，则“A ?B ”是“A ∩B ＝A ”成立的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

【解析】 由A ?B ，得A ∩B ＝A ；反过来，由A ∩B ＝A ，且(A ∩B )?B ，得A ?B ，因此，“A ?B ”是“A ∩B ＝A ”成立的充要条件。故选C 。

【答案】 C

4．“在△ABC 中，若∠C ＝90°，则∠A ，∠B 都是锐角”的否命题为：___________________________________________________。

【解析】 原命题的条件：在△ABC 中，∠C ＝90°。

结论：∠A ，∠B 都是锐角。否命题是否定条件和结论。

即“在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角”。

【答案】 在△ABC 中，若∠C ≠90°，则∠A ，∠B 不都是锐角

5．若“x 2

>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________。

【解析】 由x 2>1得x >1或x <－1。

由题意知{x |x <a } {x |x >1或x <－1}，结合数轴可知，a ≤－1，从而a 的最大值为－1。

【答案】 －1

A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数

B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数

C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数

D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数

(2)原命题为“若z 1，z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命

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题真假性的判断依次如下，正确的是( )

A ．真，假，真

B ．假，假，真

C ．真，真，假

D ．假，假，假

【解析】 (1)由于“x ，y 都是偶数”的否定是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”。故选C 。

(2)先证原命题为真：当z 1，z 2互为共轭复数时，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z 2＝a －b i ，则|z 1|＝|z 2|＝a 2＋b 2

，∴原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z 1＝1，z 2＝i ，满足|z 1|＝|z 2|，但是z 1，z 2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B 。

【答案】 (1)C (2)B

反思归纳

1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

(1)对于不是“若p ，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。

2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。

3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。

【变式训练】 (1)命题“若α＝π3，则cos α＝12

”的逆命题是( ) A ．若α＝π3，则cos α≠12

B ．若α≠π3，则cos α≠12

C ．若cos α＝12，则α＝π3

D ．若cos α≠12，则α≠π3

(2)已知命题α：如果x <3，那么x <5；命题β：如果x ≥3，那么x ≥5；命题γ：如果x ≥5，那么x ≥3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )

①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；

②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；

③命题β是命题α的否命题，且命题γ 是命题α的逆否命题。

A ．①③

B ．②

C ．②③

D ．①②③