有限元与comsol步骤

COMSOL Multiphsics 初级教程——有限元方法简介与COMSOL操作入门

FEM 介绍

有限元方法是广泛用于解决应力分析，热传导，电磁学和流体力学等工程问题的 数值方法。

FEM 介绍前处理阶段：

1.建立求解域，并将之离散化成有限个单元，即将问题分解成节点和单元。 2.假定描述单元物理属性的形函数，即利用一个近似的连续函数描述每个单元的解。 3.建立单元的刚度方程。 4.组装单元，构造总刚度矩阵。 5.应用边界条件和初始条件，并施加载荷。求解阶段： 6.求解线性或非线性微分方程组得到节点值，例如不同节点上的位移或热传导问题中 的温度。 后处理阶段： 7.得到其他更重要的信息，如每个单元上的应力和每个单元中的热流密度。

FEM 实例w1求沿杆长度方向上不同点变形的大小， 在以下的分析中，假设应用的载荷比杆 的重量要大得多，因此忽略杆的重量。

y

w2

P

FEM 实例每个单元的横截面面积，由定义单元节点处横截面的平均面积表示。

1 23

A1 A2 A3 l3

l1 l2

4

5

A4 l4

P

P

FEM 实例为了研究典型的单元行为，考虑一个带有统一横截面A的单元，单元长度为l, 承受的外力为F,产生的形变是Δl。

l lΔl l F

F

FEM 实例近似单元的平均应力：

F = A近似单元的平均应变：

l l根据胡克定律：

AE F ( ) l l

其中，A为受力单元的横截面 积，E为材料的杨氏模量，l, Δl分布为受力单元的长度和形 变。

E

FEM 实例注意到合并方程与线性弹簧的方程F = kx 相似，因此一个中心点受力 而且横截面相等的实体可以视作一 个弹簧。 每个单元的弹性行为可以由相应的

keq

线性弹簧模型描述，合并方程与线性弹簧方程 F=kx 相比，其等价刚 度为

xF

FEM 实例杆可以视为由四个弹簧串接起来的模型：f keq (ui+1 - ui ) Aavg E l (Ai 1 Ai ) E (ui+1 - ui ) (ui+1 - ui ) 2l

u1 u2

1单元1

2单元2

其中等价单元的刚度为：(A Ai ) E keq i 1 2l

u3 u4u5

3单元3

4单元4

5

P

FEM 实例

节点的力平衡方程：

k1 (u2 u1 ) k1 (u2 u1 ) k 2 (u3 u2 )

R1 k1 (u2 u1 ) 0 k1 (u2 u1 ) k 2 (u3 u2 ) 0 k2 (u3 u2 ) k 3 (u4 u3 ) 0 k3 (u4 u3 ) k 4 (u5 u4 ) 0 k4 (u5 u4 ) P 0

k 2 (u3 u2 ) k3 (u4 u3 )k3 (u4 u3 )

k 4 (u5 u4 )k 4 (u5 u4 )

FEM 实例

k1u1 k1u2 k1u1 k1u2 k2u2 k2u3 k2u2 k2u3 k3u3 k3u4 k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 k4u4 k4u5

R1 0 0 0 P

FEM 实例 k1 k 1 0 0 0 k1 k1 k2 k2 0 0 0 k2 k 2 k3 k3 0 0 0 k3 k3 k 4 k4 0 0 0 k4 k4

u1 u 2 u3 u 4 u5

R1 0 0 0 p

R Ku F[反作用力矩阵]=[刚度矩阵][位移矩阵]-[负荷矩阵]

FEM 实例由于杆的上端是固定的，节点1的位移量是零，因此方程的第一行应为u1=0。所以 应用边界条件将得到如下的矩阵方程：

1 k 1 0 0 0

0 k1 k2 k2 0 0

0 k2 k 2 k3 k3 0

0 0 k3 k3 k 4 k4

0 u1 0 u 0 2 0 0 u3 0 k 4 u4 0 k4 p u5

[刚度矩阵][位移矩阵]=[载荷矩阵]

FEM 实例假定题目中E=10.4x106 lb/in2,w1=2 in, w2=1 in, t=0.125 in, L=10 in, P=1000 lb。由上述方法计算结果如下：

0 0.001026 u 0.002210 in 0.003608 0.005317

COMSOL操作步骤阅读文献，思考 公式推导，数学抽象 构建几何模型 完成参数设定

N

设置边界条件

结果正确？

后处理

计算

网格化

Y 得出正确结果

COMSOL操作步骤微分方程 边界条件 初始条件 FEM 自由变量的解

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