2019-2020学年高中数学苏教版必修四 课下能力提升：(二十三) 两

课下能力提升(二十三) 两角和与差的余弦

一、填空题

1．cos(x ＋27°)cos(x －18°)＋sin(x ＋27°)sin(x －18°)＝________.

2．若sin α＝35，α∈? ????π2，π，则cos ? ??

??π4－α的值为________． 3．已知π2＜β＜α＜3π4，sin(α＋β)＝－35，cos(α－β)＝1213

，则cos 2α的值为________． 4.12sin π12－32cos π12

＝________. 5．已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13

，则cos(α－β)＝________. 二、解答题

6．(广东高考)已知函数f (x )＝2cos ? ??

??x －π12，x ∈R . (1)求f ? ??

??π3的值； (2)若cos θ＝35，θ∈? ????3π2，2π，求f ?

????θ－π6.

7．在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝35

，求cos C .

8．已知函数f (x )＝2cos ?

????ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；

(2)设α，β∈??????0，π2，f ?

????5α＋5π3＝－65，f ? ????5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值．

答 案

1．解析：原式＝cos[(x ＋27°)－(x －18°)]＝cos 45°＝

22

. 答案：22 2．解析：∵sin α＝35且α∈? ??

??π2，π，∴cos α＝－45， ∴cos ? ??

??π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝－210. 答案：－210

3．解析：∵π2＜β＜α＜3π4，∴－3π4＜－β＜－π2

. ∴0＜α－β＜π4，π＜α＋β＜3π2.

∴sin(α－β)＝1－α－β＝ 1－? ????12132＝513

， cos(α＋β)＝－1－α＋β＝－

1－? ????－352＝－45. 于是cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]

＝cos(α＋β)·cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β)

＝? ????－45·? ????1213－? ????－35·? ??

??513＝－3365. 答案：－3365

4．解析：原式＝sin π6sin π12－cos π6cos π12

＝－cos ? ??

??π6＋π12＝－cos π4＝－22. 答案：－22

5．解析：将两条件等式平方后相加得

(cos α－cos β)2＋(sin α－sin β)2

＝2－2cos(α－β)＝14＋19＝1336，∴cos(α－β)＝5972

. 答案：5972

6．解：(1)f ? ????π3＝2cos ? ??

??π3－π12＝2cos π4＝1. (2)∵cos θ＝35，θ∈? ??

??3π2，2π， ∴sin θ＝－1－cos2θ＝－45

， ∴f ? ????θ－π6＝2cos ?

????θ－π4 ＝2?

????cos θcos π4＋sin θsin π4＝－15. 7．解：∵△ABC 中，0＜A ＜π，0＜B ＜π，

由cos A ＝513知sin A ＝1213.又0＜513＜12，∴A ＞π3

. 又sin B ＝35，且12＜35＜32

， 若B 为锐角，则π6＜B ＜π3，此时cos B ＝45.

若B 为钝角，则2π3＜B ＜5π6.由于A ＞π3

，故B 不可能为钝角． ∴cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )

＝－cos A cos B ＋sin A sin B

＝－513×45＋1213×35＝1665

. 8．解：(1)∵f (x )＝2cos ?

????ωx ＋π6，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ? ????15

x ＋π6， 而α，β∈??????0，π2，f ?

????5α＋5π3＝－65，f ? ????5β－5π6＝1617， ∴2cos ??????15?

????5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ??????15?

????5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ?

????α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517

， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385

.