2-5 矩阵的秩与矩阵初等变换

工程数学,周勇 朱砾

第五节 矩阵的秩与矩阵的初等变换 一、矩阵秩的概念 二、矩阵的初等变换 三、初等矩阵 四、初等矩阵的应用 五、小结 思考题

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一、矩阵秩的概念任何矩阵 Am n , 总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的.矩阵的秩

定义1 在 m n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列(k m , k n),位于这些行列交叉处的个 k 2 元素, 不改 变它们在 A 中所处的位置次序而得的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式.

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k k m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m C n 个.

定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 式 D,且所有 r 1 阶子式(如果存在的话)全等 于 0,那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零. m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的子式的最高阶数.对于 AT, 显有 R( AT ) R( A).

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例1

1 2 3 求矩阵 A 2 3 5 的秩. 4 7 1

解

在 A 中，

1 2 2 3

0.

又 A的 3 阶子式只有一个 A, 且 A 0,

R( A) 2.

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由定义可知：非奇异方阵的秩等于它的 阶数，故称其为满秩矩阵；而奇异方阵称 为降秩矩阵。 由定义可得，定理1:若矩阵A中至少有一 个k阶子式不为零，而所有k+1阶子式全为 零，则A的秩等于k。

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二、矩阵的初等变换定义3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:

1 对调两行(对调 i , j 两行, 记作ri rj); 2 以数 k 0 乘以某一行的所有元素 ;

3 把某一行所有元素的k 倍加到另一行对应的元素上去(第 j 行的 k 倍加到第 i 行上 记作ri krj) .

(第 i 行乘 k , 记作 ri k)

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同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”). 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等 变换. 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同.ri rj 逆变换 ri r j ; 1 ri k 逆变换 ri ( ) 或 ri k ; k ri krj 逆变换 ri ( k )rj 或 ri krj .

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定理 2 对矩阵实施初等变换，矩阵的秩不变。由该定理，告诉我们求矩阵秩的方法。 1 3 2 2 例2 已知 A 0 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 2 0 1 5

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1 例2 已知 A 0 2 1 3 2 0, 解 0 2 1 0 3 2 1 1 , 2 1 00

3 2 2 2 1 3 ,求该矩阵的秩. 0 1 5

计算A的3阶子式，

2 0

3 2 3 2 2 1 2 2 0 , 2 3 2 , 1 3 00 1 3 0, 2 0 5 0 1 5 2 1 5

0.

R A 2.

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1 3 2 2 另解 对矩阵 A 0 2 1 3 做初等变换， 2 0 1 5 1 3 2 2 1 3 2 2

0 2 1 3 ~ 0 2 1 3 , 2 0 1 5 0 0 0 0

显然，非零行的行数为2, R A 2.此方法简单！

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定义4 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵 B, 就称矩阵 A 与 B 等价，记作 A ~ B. 等价关系的性质：(1) 反身性 A A;(2)对称性 若 A B , 则 B A; (3)传递性 若 A B, B C,则 A C.

具有上述三条性质的关系称为等价.

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* 矩阵秩的求法因为对于任何矩阵Am n , 总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形.

定理

若 A ~ B, 则 R A R B .

证 先证明：若A经一次初等行变换变为B, 则R( A) R( B ).设 R( A) r,且 A 的某个 r 阶子式 Dr 0.

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当A B或 A B 时， 在 B 中总能找到与 Dr 相对应的子式 D r ,. 由于 D r Dr 或 D r Dr 或 D r kDr ,因此 D r 0,从而 R( B ) r .i 当A j B时，分三种情况讨论：

ri r j

ri k

r kr

(1)Dr中不含第i行； (2)Dr中同时含第i行和第j行； (3)Dr中含第i行但不含第j行；

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对 (1), ( 2) 两种情形，显然 B 中与 Dr 对应的 子式 D r Dr 0, 故 R( B ) r .对情形 ( 3), 若Dr 0,

D r ri krj ri k r j Dr kDr ,

因 Dr 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 非零子式,

R( B ) r .

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若Dr 0,

则 D r Dr 0, 也有 R( B ) r .

若A经一次初等行变换变为B,则 R( A) R( B ). 又由于 B 也可经一次初等变换变 A, 为

故也有 R( B ) R( A). 因此 R( A) R( B ).经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变.设A经初等列变换变为 B , 也有R( A) R( B ).

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设 A 经初等列变换变为 B ,则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) R( BT ), 且 R( A) R( AT ), R( B ) R( BT ),

R( A) R( B ).

综上, 若 A 经有限次初等变换变为B( 即 A ~ B ), 则 R( A) R( B ).

证毕