【配套K12】[学习]九年级数学下册 第二十七章 相似 27.3 位似 27

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精品K12教育教学资料 第1课时 位似图形的概念及画法

关键问答

①判断图形是否位似的方法是什么？

②确定位似中心的方法是什么？

③位似中心确定，相似比确定，可以画几个与已知图形位似的图形？

1．①下列各组图形中，不是位似图形的是(

)

图27－3－1

2．②图27－3－2中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(

)

图27－3－2

A ．点P

B ．点O

C ．点M

D ．点N

3．③如图27－3－3，把图中的四边形ABCD 以点O 为位似中心，沿AO 方向放大为原来的2倍(即相似比为2)．

图27－3－3

命题点 1 位似图形的识别 [热度：86%]

4.④小明的圆规的摆放方式如图27－3－4所示，则图27－3－5中和小明的圆规形状一样的几个圆规中，与小明摆放的圆规位似的是(

)

图27－3－4

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精品K12教育教学资料图27－3－5

解题突破

④位似图形的对应边平行(或在一条直线上)且对应点的连线相交于一点. 5．下列每个图中的两个三角形是位似图形的是(

)

图27－3－6

A．图③、图④ B．图②、图③、图④C．图②、图③ D．图①、图②

命题点 2 位似中心的确定[热度：87%]

6.⑤如图27－3－7，已知△EFH和△MNK是位似图形，那么其位似中心是(

)

图27－3－7

A．点A B．点B C．点C D．点D

方法点拨

⑤两个位似三角形，若同向，则位似中心在这两个三角形同侧；若反向，则位似中心在这两个三角形之间.

命题点 3 利用位似图形的性质进行计算[热度：90%]

7．如图27－3－8所示，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形A′B′C′D′E′，已知OA＝10 cm，OA′＝20 cm，则五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′的周长比是(

)

图27－3－8

A．1∶2 B．2∶1 C．1∶3 D．3∶1

8．如图27－3－9，A是反比例函数y＝

k

x

(x＞0)的图象上一点，点B，D在y轴正半轴上，△ABD是△COD关于点D的位似图形，且△ABD与△COD的相似比是1∶3，△ABD的面积为1，则该反比例函数的解析式为________．

图27－3－9

9．如图27－3－10①，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使点D，E位于边BC上，点F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，使点H，I位于射线BC上，点K位于射线BA上，而不需要点J必须位于AC上．这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG.

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精品K12教育教学资料 阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：

易错警示

⑥满足长、宽之比为2∶1的长方形有两种摆放位置．⑥(1)如图27－3－10②，给定锐

角三角形ABC ，画出所有长、宽之比为2∶1的长方形DEFG ，使点D ，E 位于边BC 上，点F ，G 分别位于边AC ，AB 上；

(2)已知△ABC 的面积为36，BC ＝12，在第(1)问的条件下，求长方形DEFG 的面积．

图27－3－10

命题点 4 位似图形的画法 [热度：89%]

10.⑦如图27－3－11，已知五边形A ′B ′C ′D ′E ′是五边形ABCDE 的位似图形，但被小明擦去了一部分，你能将它补充完整吗？

图27－3－11

方法点拨

⑦先确定位似中心，再由相似比或对应边互相平行来确定对应点.

11．如图27－3－12，在6×8网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O 和△ABC 的顶点均在小正方形的格点上．

(1)以点O 为位似中心，在网格图中作△A ′B ′C ′，使△A ′B ′C ′和△ABC 位似，且相似比为1∶2；

(2)连接(1)中的BB ′，CC ′，求四边形BB ′C ′C 的周长．(结果保留根号

)

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精品K12教育教学资料图27－3－12

12．如图27－3－13所示是由位似的△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△A n B n C n组成的相似图形，它们均为等边三角形，其中△A1B1C1的边长为1，O是B1C1的中点，A2是OA1的中点，A3是OA2的中点，…，A n是OA n－1的中点，顶点B2，B3，…，B n，C2，C3，…，C n都在边B1C1上．

⑧(1)试写出△A

10B10C10和△A7B7C7的相似比和位似中心；

(2)求△A n B n C n(n≥2)的周长．

图27－3－13

解题突破

⑧由三角形中位线定理把前几个三角形的边长求出来，找出一般规律，然后求出△

A10B10C10和△A7B7C7的边长，即可求出相似比．

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详解详析

1．B 2.A

3．解：如图所示，四边形A ′B ′C ′D ′即为所求．

4．D

5．B [解析] 位似三角形的对应边平行(或在一条直线上)且对应点的连线相交于一点．

6．B 7.A

8．y ＝8x [解析] 连接AO .∵△ABD 与△COD 的相似比是1∶3，∴BD OD ＝13

. ∵△ABD 的面积为1，

∴△AOD 的面积为3，

∴△ABO 的面积为4，

∴k ＝8，

∴反比例函数的解析式为y ＝8x

. 9．解：(1)如图②与备用图①，长方形DEFG 即为所求作的图形．

(2)在长方形DEFG 中，如果DE ＝2DG ，如备用图②，作△ABC 的高AM ，交GF 于点N .

∵△ABC 的面积＝12BC ·AM ＝12

×12×AM ＝36， ∴AM ＝6.

设AN ＝x ，则MN ＝6－x ，DG ＝MN ＝6－x ，

DE ＝GF ＝2(6－x )＝12－2x .

∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ，

∴GF BC ＝AN AM ，即12－2x 12＝x 6

，解得x ＝3， ∴DG ＝6－x ＝3，DE ＝2DG ＝6，

∴长方形DEFG 的面积＝6×3＝18；

在长方形DEFG 中，如果DG ＝2DE ，

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精品K12教育教学资料 同理求出x ＝65

， ∴DG ＝6－x ＝245，DE ＝12DG ＝125

， ∴长方形DEFG 的面积＝245×125＝28825

. 综上，长方形DEFG 的面积为18或28825

. 10．解：如图：

11．解：(1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求．

(2)四边形BB ′C ′C 的周长为：BB ′＋B ′C ′＋CC ′＋BC ＝2＋2 2＋2＋4 2＝4＋6 2.

12．解：(1)由条件可知A 1B 1＝1＝120，A 2B 2是△OA 1B 1的中位线，∴A 2B 2＝12＝121. 同理，A 3B 3＝14＝12，…，A n B n ＝12

. ∴A 10B 10＝129，A 7B 7＝126， ∴△A 10B 10C 10和△A 7B 7C 7的相似比为A 10B 10A 7B 7＝1

29126＝18

. ∵各三角形的各对应顶点的连线都经过点O ，

∴△A 10B 10C 10和△A 7B 7C 7的位似中心是点O .

(2)由(1)可知A n B n ＝1

2，

∴A n B n ＋B n C n ＋C n A n ＝32

n －1， 即△A n B n C n 的周长为32

n －1. 【关键问答】

①一看图形是否相似，二看对应点的连线是否相交于一点．

②连接两对对应顶点，找连线的交点．

③两个，分别在位似中心的两侧．