计算方法与实习 第四版 (孙志忠 著) 东南大学出版社 课后答案

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http://www.77cn.com.cn/2009-10-15

m

o

c.

w计算方法习题解答

adh

k1

.绪论P15

1.指出下列各数有几位有效数字：x1=4.8675,

x2=4.08675,x3=0.08675,

ox5=96×105,x6=0.00096

c答：5,6,4,6,2,

2.

2.将下列各数舍入至5位有效数字：

网

.x1=3.25894,x2=3答

.25896,

案

wx3=4.382000,

答：3.2589,3.2590,4.3820后

,0.

00078925.3.若近似数x具有n位有效数字，且表示为

课

a

x=±(a1+da2×10 1+···+an×10 (n 1))×10m,

证明其相对误差限为

h

εr≤

1

×10 (n 1)2a,1

并指出近似数x1=86.734,x2=0.0489的相对误差限分别是多少。

答：x有n位有效数字，kx=±a1.a2a3···an×10m,ε≤1×10

(n 1),.

∴εεr=

x|≤ε1

a=×10 (n 1)|.12a1

wx1=86.734,n=5,a1=8,

ε1

r≤×10 416;x2=0.0489,n=3,a1=4,

ε1

r≤

×10 2

8.4.求下列各近似数的误差限（其中x1,x2,x3均为第1题所给出的数）：

d

1

h

k.

ww

wm

x4=96.4730,

x4=0.000789247.a1=0,

m

oc

.w

wwwww

a

1)x1+x2+x3;

co

m

2)x1x2;

13)x1/x2.

×10 5+

1 5+x1×10 4=2.28675×10 4.2).|e(x1x2)|≈|x1e(x2)+x2e(x1)|≤x112×1011

3).|e(x2)|≈|2e(x1)

x1

e(x2)|2

daw.

e,

e

r=,

答：1).|e(x1+x2+x3)|≤

1

×10 4+×10 5=6×10 5.

≤

112×10 4+

x112

×10 5=1.3692×10 5

.

ww

w.kh

5.证明

答：er=

2ee1r=.r er=r =r =r xe+x1+r1+r

········

·

7.设y0=28,按递推公式

答

课

√

计算到y100,若取≈27.982(5位有效数字)，试问计算到y100将有多大误差？

√

答：设x =x=27.982,x =x+e.

w.

y|=e≤n=100时，|ynn

kh

1

2 y∴ynn=yn 1 yn 1 10e 2=yn 2 yn 2 2×10e=···

y n×10 2e=y0

=28).= 10 2ne,(y0=y0

y|→∞,计算过程不稳定。注：此题中，|ynn

ww

8.序列{yn}满足递推关系

yn=5yn 1 2,

n=1,2,···

2

ww

w.

khd

aw

.c

om

×10 3.

da

1√

,yn=yn 1 100

案

网后

6.机器数–略。

2 =y ynn 1 10(x+e),

yn=yn 1 10 2x,

http://www.77cn.com.cn

n=1,2,···

e2rr

r er==.

1+r1 er

daw.

y|=510e≤n=10时，|ynn0

co

1

√

若y0=≈1.73(3位有效数字),计算到y10时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

√ y≤1×10 2,答：设y0=y0=1.73,e0=y00 =5y ynn 1 2,

yn=5yn 1 2,

n nyn yn=5(yn 1 yn 1)=···=5(y0 y0)=5e0→∞.

www.kh

m

In=

01

×10 2×510,

该过程不稳定。

xn

dx

10+x9.推导出求积分

的递推公式，并分析这个计算过程是否稳定；若不稳定，试构造一个稳定的递推公式。

1

答：与例题类似，In= 10In 2+

，略。

10.设f(x)=8x5 0.4x4+4x3 9x+1,用秦九韶法求f(3)。答：1993.

6.

w.

kh

3

da

http://www.77cn.com.cn

ww

课

后

答

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n=0,1,2,···,10

案

网

www.kh

31.证明方程1 x sinx=0在[0,1]中有且只有一个根。使用二分法求误差不大于1×10的根需要迭代

多少次？（不必求根）

答：设f(x)=1 x sinx,f(0)=1>0,f(1)= sin1<0,f (x)= 1 cosx<0,f(x)单调减，∴f(x)在[0,1]有且仅有一根。

daw.

本章重点：

用简单迭代法和牛顿迭代法求给定方程的根，并用有关定理判断所用迭代格式的收敛性。

co

后

2方程求根P47

m

|xk x |=

2

(1 0)≤1

设二分k次，取xk≈x ,

k≥9.965,所以要二分10

次。

2.用二分法求方程2e x sinx=0在区间[0,1]内的根，精确到3位有效数字。

x答：设f(x)=2e x sinx,f(0)>0,f(1)=2 sin1<0,f(x)= 2e cosx<0,所以f(x)在[0,1]内

有且仅有一根。

3.用简单迭代法求下列方程的根，并验证收敛性条件，精确至4位有效数字。1)x3 x 1=0;2)ex 4x=0;答：以2)为例.

答

案

设f(x)=ex 4x,则f (x)=ex 4,f (x)=0的根为ln4。当x<ln4时，f (x)<0;当x>ln4时，f (x)>0。

f(0)=1,f(1)<0,f(ln4)=4 4ln4<0,f(2)<0,f(3)>0,方程f(x)=0存在两个根：

x 1∈[0,1],x2∈[2,3].

w.

–求根x 1:

将方程f(x)=0在区间[0,1]改写成同解方程

1

x=ex,x∈[0,1]

41

xk+1=exk,k=0,1,2,···

4

1

(x)=ex>0.

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