理论力学-11-动能定理及其应用

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理论力学

第三篇 动力学

第三篇 动力学

第11章 动能定理及其应用

第11章 动能定理及其应用

11.1 力的功 11.2 质点与质点系的动能 11.3 动能定理及其应用 11.4 势能的概念 机械能守恒定律及其应用 11.5 动力学普遍定理的综合应用 11.6 结论与讨论

第11章 动能定理及其应用

11.1 力的功

11.1 力的功

1、力的功的定义 2、定轴转动刚体上力的功、力偶的功 3、内力的功

11.1 力的功 1、力的功的定义M1

力Fi的元功δW Fi d ri Fi dscos Fi ,d ri

Fx dx Fy dy Fz dzM2

力Fi在点的轨迹上从M1点 到M2点所作的功M2

W12

M2

W

M1

M1

Fi dri

F dx + FM2 M1 x

y

dy + Fz dz

需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函数的全微 分，所以，一般不用dW表示元功，而是用 W表示。 W仅仅 是Fi.dri 的一种记号。

11.1 力的功

W 12

M

2

W

M1

M

2

M1

F i d ri

FM2

M1

x

dx + F y dy + F z dz

由此得到了两个常用的功的表达式: 重力的功Fx F y 0

对于质点：F z = P mg

z

M1 z1

M mg M2 z2 y

重力的元功为

O x

W = mgdzW12 mg( z1 z 2 )

11.1 力的功对于质点系：

W 1 2 m i g ( z i1 z i 2 ) ( m i z i1 m i z i 2 ) g ( M zC1 M zC 2 ) g M g ( zC1 zC 2 )重力的功仅与重心的始末位置有关，而与重心走过的路径无 关。 重力的功 对于质点： W12 mg( z1 z 2 ) 对于质点系：

W12 Mg ( z C1 z C 2 )

11.1 力的功 弹性力的功 弹性力的元功 W = F d r = k ( r l 0 ) r0 d r= k ( r l0 ) r r dr

r0——沿位矢方向的单位矢量W 12

A2 A1

W

k 2

r l1

2 r2 0

l0

2

k 2 2 W12 ( 1 2 ) 2 1 、 2 ——弹簧在初始位置和最终位置的变形量 。

弹性力作的功只与弹簧在初始和终止位置的变形量有关。

11.1 力的功 2、定轴转动刚体上力的功、力偶的功 定轴转动刚体上外力的功 刚体以角速度ω绕定轴z转动,其上A点作用 有力F,则力在A点轨迹切线上的投影为 F F cos 定轴转动的转角和弧长的关系为 ds Rd 则力F 的元功为 W F dr F ds F Rd M z F d M z (F ) F R

——力F对轴z的矩

刚体由角度 1转到角度 2时F所作的功为W12

21

M z ( F )d

11.1 力的功W12 外力偶的功 若力偶矩矢M与z轴平行，则M所作之功为W12

21

M z ( F )d

21

M d

若力偶矩矢M为任意矢

量，则M所作之功为

W12 Mz——力偶矩矢M在z轴上的投影

21

M z d

11.1 力的功 扭转弹簧力矩的功 假设扭簧上的杆处于 水平时扭簧未变形，且变 形时在弹性范围之内。变 形时扭簧作用于杆上的力 对点O之矩为

M k 其中k为扭簧的刚度系数。当杆从角度θ1转到角度θ 2时所 作的功为 W12 2

1

k d

1

2

k 1 2

1

2

k 2

2

11.1 力的功 3、内力的功 内力作功的情形 日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉内力作功； 弹簧力作功等等；摩擦力做功损耗能量。 刚体的内力不作功 刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体 的内力所作功之和恒等于零。

11.1 力的功

理想约束力的功 理想约束：约束力不作功或约束力作功之和等于零的约束。

1、不可伸长的柔性约束也是理想约束。2、光滑的固定支承面 3、光滑的铰链(轴承、光滑的活动铰链支座、二力杆)

11.1 力的功

4、纯滚动时，摩擦力(约束力)不作功 C* 为瞬时速度中心， 在这一瞬时C*点的速度为 零。作用在C*点的摩擦力 F所作元功为 F

vO O

C*FN

WF F drC F v dt 0 C

约束力为无功力的约束称为理想约束