高中数学一轮复习直线与圆的位置关系

第七章

直线和圆

7.6

直线与圆的位置关系P116

忆一忆知识要点

要点梳理1.直线与圆的位置关系

相离 、 相切 、 相交 . 位置关系有三种：判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： >0 相交 判别式 (1)代数法： ――→ =0 相切 Δ=b2-4ac <0 相离 (2)几何法： 利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系： d<r 相交，d=r 相切，d>r 相离.

忆一忆知识要点

2直线和圆相交，所得弦的弦长 ①几何法：用弦心距，半径及半弦构成直 2 2 角三角形的三边 | AB | 2 r d ②代数法：用弦长公式 r dA| AB | 1 12 y1 y2 . k

B

教材回归

2.(高考广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x+4y-5 =0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点，则弦 AB 的长等于 A.3 3 C. 3 B.2 3 D.1

1.答案

B

2 答案 B. 2 2 解析：圆 x +y =4 的圆心为(0,0),半径为 2,则圆心到直线 |-5| 3x+4y-5=0 的距离为 d= 2 2=1. 3 +4 ∴|AB|=2 r2-d2=2 4-1=2 3.

直线与圆的位置关系

例 1 m 为何值时， 直线 2x-y+m=0 2 2 与圆 x +y =5. (1)无公共点； (2)截得的弦长为 2;

解

(1)由已知，圆心为 O(0,0),半径 r= 5,圆心到直线 2x-y |m| |m| +m=0 的距离 d= 2 , 2= 5 2 +(-1)|m| ∵直线与圆无公共点，∴d>r,即 > 5, 5 ∴m>5 或 m<-5. 故当 m>5 或 m<-5 时，直线与圆无公共点.

(2)如图，由平面几何垂径定理知 r2-d2=12. m2 即 5- =1. 5得 m=± 5, 2 ∴当 m=± 5时，直线被圆截得的弦长为 2. 2

变式训练 1已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明：不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点； (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. y=kx+1, 由 (x-1)2+(y+1)2=12,

解：方法一

(1)证明

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,

因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点.

|k+2| 方法二 (1)证明 圆心 C(1,-1)到直线 l 的距离 d= 2, 1+k k2+4k+4 11k2-4k+8 圆 C 的半径 R=2 3,R2-d2=12- ,而 2 = 2 1+k 1+k 在 S=11k2-4k+8 中，Δ=(-4)2-4×11×8<0,

故 11k -4k+8>0 对 k∈R 恒成立， 所以 R -d >0,即 d<R,所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总 有两个交点.2 2

2

方法三 (1)证明 因为不论 k 为何实数，直线 l 总过点 A(0,1), 而 AC= 5<2 3=R,所以点 A(0,1)在圆 C 的内部，即不论 k 为 何实数，直线 l 总经过圆 C 内部的定点 A.

所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点.

(2)解

设直线与圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，

则直线 l 被圆 C 截得的弦长 AB= 1+k2|x1-x2| 8-4k+11k2 4k+3 =2 =2 11- , 1+k2 1+k2 4

k+3 令 t= ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2 3 当 t=0 时，k=- ,当 t≠0 时，因为 k∈R, 4所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0,4k+3 故 t= 2 的最大值为 4,此时 AB 最小为 2 7. 1+k

法二：(2)解 由平面几何知识， 2 8-4k+11k 2 2 知 AB=2 R -d =2 ,下同方法一. 2 1+k法三：(2)解 由平面几何知识知过圆内定点 A(0,1)的弦，只有和 AC (C 为圆心)垂直时才最短，而此时点 A(0,1)为弦 AB 的中点， 由勾股定理，知 AB=2 12-5=2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.

例2: 若方程 2 x x kx 2k 2 有两个不同2

3 k ≤1 的实数根，则实数 k 的取值范围是____________. 4解：① y 2 x x 2 ( x 1)2 y 2 1( y ≥ 0)

② y kx 2k 2| k 2 | 1 k PQ 3 2 4 k 1 kOP 1O

yQ

P(2,2)

x

练习：【1】圆x2+y2-2x-4y+1=0上到直线x+y1=0的距离为 2 的点共有 2 个. y|1 2 1| d 2, r 2. 2

2 2 2 2

3 个 1 个

o

x

2 3

4 个

例3若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2= 1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(A .[ - 3, 3] C.[ - 3 3 , ] 3 3 B.( - 3, 3) D .( - 3 3 , ) 3 3

)

【答案】

C

【解析】

设直线方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=2 2

0,因为直线l与曲线(x-2) +y =1有公共点， 所以圆心到直线的距离小于等于半径d= 3 3 ≤k≤ . 3 3 另外，借助于上面的图形也可以判断C正确. |2k-4k| k +12

≤1,解得

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