圆锥曲线中的对称问题

圆锥曲线中的对称问题成都七中 授课人：曹杨可 课件制作：曹杨可

例1:y2 x 已知椭圆C 方程为： 1 ,试确定m 的取值范围，使得对于 4 3 直线 l:y 4 x m,椭圆C上有不同的两点关于该 直线对称。2

为： 分析： 设椭圆上 A、B 两点关于直l 对称，则已知条件等价 (1)直线 AB l; ( 2)弦 AB 的中点 M 在直线 l 上； (3) A、B 在椭圆上。利用上述三 点，求出m 的范围

解： A、B 关于直线l 对称，且直线AB 交 l 于 M, 设y 则由已知可设直线 方程为： 1 x n AB 4

yB

.

lM

y 4x m O xm 4 ( n m ) 解方程组 17 y 1 x n 4 y 1 x n 4 解方程组 2 消 y 13 x 2 8nx 16 n 2 48 0 2 y x 1 3 4

.A

x

[1]

x1 x2 4n xm 2 13 4 (n m) 4 n n 13 m 17 13 4又 A、B 在椭圆上

yBM

l

O

.Ax

[1] 式的 64 n 2 4 13(16 n 2 48) 0 即 4n 2 13 4(169 m 2 ) 13 16

2 13 m 2 13 . 13 13

设 解2: A、B 关于直线l 对称，且直线AB 交 l 于 M, y

y 则由已知可设直线 方程为： 1 x n AB B 4 M y 4x m O xm 4 ( n m ) 解方程组 17 y 1 x n 4 y 1 x n 4 解方程组 2 消 y 13 x 2 8nx 16 n 2 48 0 2 y x 1 4 3

l

.A

x

[1]

x1 x2 4n xm 2 13

4 (n m) 4 n n 13 m 17 13 4 xm 4 ( 13 m ) m 13 4 M ( m, 3m ) ym 3m A、B 在椭圆上( m )2 ( 3m )2 1 4 3

M 在椭圆内

解得 2 13 m 2 13 . 13 13

解法3设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),AB 与 l 的交点 M ( x0,y0 )

yBM

l

则

x y 1 [1] 4 3

2 1

2 1

x y 1 [2] 4 3

2 2

2 2

O

.Ax

3x y y2 x x2 0 1 由 [1] [2] 得： 1 3 1 4 y0 4 x1 x2 4 y1 y2 y0 3 x0 [3] 又M l y0 4 x0 m [4]

联立 [3][4] 解得 M ( m, 3m )

A、B 在椭圆上( m )2 ( 3m )2 1 4 3

M 在椭圆内

解得 2 13 m 2 13 . 13 13

2

y

l

.M .NO

x

得

y

l

.M .NO

x

∵

y

l

.M .NO

x

例3

作业： 教辅活页 《章末检测》