Ch2-Pulse Propagation in Fibers非线性光纤光学讲稿

Nonlinear Fiber Optics

Sep. 2007-Jan. 2008 2007-

Pulse Propagation in Fibers

Dr. Kun XuKey Lab of Optical Communication and Lightwave Technologies (Beijing University of Posts and Telecommunications), Ministry of Education, P.R.China Telecommunications),Tel:+86-10-62282332+86- 10E-mail: xukun@http://www.77cn.com.cn E-

Course Outline1. Introduction 2. Pulse Propagation in Fibers 3. Group-Velocity Dispersion 4. Self-Phase Modulation 5. Optical Solitons 6. Polarization Effects 7. Cross-Phase Modulation 8. Stimulated Raman Scattering 9. Stimulated Brillouin Scattering 10. Parametric Processes

OutlineMaxwell’s Equations Fiber Modes Pulse-Propagation Equation Numerical Methods

Maxwell’s Equations安培环路定律无源区域

× H=ε

E t

矢量形式的波动方程

法拉第电磁感应定律

H × E= μ t

2 E με

B= 0 D=ρ

磁通连续性定律高斯定律

H= 0 E= 0

2E=0 t 2 2H 2 H με 2= 0 t媒质的传播常数

Constitutive Relations

D=ε0E+ P=ε E B=μ0 H+ M J=σE一定边界条件下求解波动方程：

时谐场复数形式的波动方程 (亥姆霍兹方程)

2 E+ k 2 E= 0 2 H+ k 2 H= 0

k=ωμε

E (r, t )= E (r )e

iωt

n (D1 D2 )=σ

n× (E1 E2 )= 0 n× (H1 H 2 )= i

n (B1 B2 )= 0

TEM波正弦平面电磁波(无界或一维空间)导行电磁波(二维或三维封闭空间)…… TE波、TM波

How to get the solution?时谐场复数形式的波动方程 (亥姆霍兹方程)

E+k E=02 2

媒质的传播常数

B= 0 D=ρ

2H+ k 2H= 0一定边界条件下求解

k=ωμε

2= t2+ 2 zE= Euv (u, v ) Z ( z )

t2Ez (u, v)+kc2 Ez (u, v)= 0 t2U(u,v)+kc2 U(u, v)= 0U( x, y)= X(x) Y( y)

d Z γ 2 Z= 0 dz 2

2

Z= A+ e γzE(u, v)={Eu, Ev, Ez}

t2E(u, v)+kc2 E(u, v)= 0γ= jβ= jk z截至波数或横向传播常数

kc2=k2+γ 2Ez (x, y, z)= X(x) Y( y) e jβz

U(r, )= R(r) Φ( )

E(u, v, z)={Eu, Ev, Ez}

?

Ez (r, , z)= R(r) Φ( ) e jβz

X(x),Y( y) R(r),Φ( )

?

Method of Longitudinal Field Components应用电磁场纵向分量Ez和Hz来求解矢量亥氏方程

E= ET (u1, u2, z )+ z E z (u1, u2, z ) H= H T (u1, u2, z )+ z H z (u1, u2, z ) = T+ z z

2 E+ k 2 E= 0 2 H+ k 2 H= 0 T× ET= jωμH z z

2 ET+ k 2 ET= 0

2 HT+ k 2 HT= 0 2 Ez+ k 2 Ez= 0①

2 H z+ k 2 H z= 0②标量亥氏方程

× E= jωμH × H= jωεE

带入展开令纵横向分别相等

T× z E z+ z×

ET= jωμH T z③ T× H T= jωεE z z

T× z H z+ z×

2 2 k+ 2 ET= T E z+ jωμz× T H z z z 联立2, 4式得： 2 2 k+ 2 H T= T H z jωε

z× T E z z z

H T= jωεET④ z 1 ET= 2 T E z+ jωμz× T H z K c z HT= 1 T H z jωεz× T E z K c2 z

Fiber Modes从数学上看，在确定边界条件下得到的Maxwell方程的一个本征解即为一种模式；从数学上看，模式是在确定边界条件下能存在的电磁场的一个本征态任何实际存在的电磁场形式都可以用模式展开例：矩形波导中传输的电磁场总可以表示为：

E ( r, t )=∑ Bmn ETM mn+∑ Cmn ETEmn标征一个模式的参数电磁场的空间分布，尤指横截面内场的分布模式的谐振频率或传播常数 TE10偏振方向TE20

阶跃折射率光纤的波动理论求解-1近似为无限厚

n1 n2

n n (r )= 1 n2

r≤ a r> a

阶跃折射率光纤的波动理论求解-2First We want to get Ez or Hz:

n1 n2Φ m ( )= Am sin (m )+ Bm cos(m )= cos(m ) sin (m )

d 2 R 1 dR 2 m 2 ++ Kc 2 R= 0 dr 2 r dr r

K c2=ω 2με+ T 2= k 2 β 2> 0?

阶跃折射率光纤的波动理论求解-3k 0=ω 2μ 0ε 0①

d 2 R 1 dR 2 m 2 ++ Kc 2 R= 0 dr 2 r dr r

归一化相移常数

K c2=ω 2με+ T 2= n12 k02 β 2> 0

u 2= a 2 K c2

2 2 2 Bessel Function: d R+ 1 dR+ u 2 m2 R= 0 2 a dr r dr r

R(r )= C1 J m (ur a )+ C2 N m (ur a )

归一化衰减常数

n= n (r )= 1 n2=

ε1ε 0ε2ε0

r≤ a r> a

②

2 K c2=ω 2με+ T 2= n2 k02 β 2< 0

w2= a 2 K c2

d 2 R 1 dR w2 m 2 R= 0变态Bessel Function: 2+ + dr r dr a 2 r 2 R(r )= D1 I m (wr a )+ D2 K m (wr a )

r→∞

I m (wr a )→∞

K m ( wr )→ e wr→ 0

阶跃折射率光纤的波动理论求解-4cos m A1 J m (ur a ) sin m r≤ a EZ (r, )= cos m A2 K m (wr a ) r>a sin m

cos m B1 J m (ur a ) sin m r≤ a H Z (r, )= cos m B2 K m (wr a ) r>a sin m 光纤芯径和包层场结构

1 ET= 2 KcHT=两种无损介质分界面没有自由电荷和面电流

T E z+ jωμz× T H z z T H z jωε z× T E z z

1 K c2

n× E1 E2= 0→ E1t= E2t n× H1 H 2= J s= 0→ H1t= H 2t

(

(

)

)

E z1= E z 2 E 1= E 22

H z1= H z 2 H 1= H 2

βm 1 J m (u )′′ K′ (w) 2 J m (u ) 1 2 K′ (w ) + m+ n2 m n1 = k u 2+ w2 wK m (w) 0 uJ m (u ) wK m (w) uJ m (u )传输模特性方程

阶跃折射率光纤中传播条件传输模特性方程 J m (u ) βm ′′ K′ (w) 2 J m (u ) 2 K′ (w ) + m+ n2 m

n1 = uJ m (u ) wK m (w) uJ m (u ) wK m (w) k0 u 2= a 2 n12 k02 β 22

1 1 2+ 2 u w

(

)

2 w2= a 2β 2 n2 k02

(

)

n1, n2, a,ω

β mn

2 A1 J m ( n12 k02 β mn ) r eim ei(βmn z ωt ) r≤ a Jm EZ ( r, , z )= im i (β mn z ωt ) 2 2 2 r> a Km A2 K m (β mn n2 k0 ) r e e

纤芯中u为实数，否则场将衰减：

β≤ k0 n1

wr→∞时，K m ( wr )→ e wr→ 0

w> 0,β> k0 n2为虚数时，包层电磁场沿 r方向为辐射状态

传输条件： u> 0→ k0 n2<β< k0 n1W2<0,辐射状态

截止条件：

w= 0→ k0 n2=β

阶跃折射率光纤中模式分析传输模特性方程 J m (u )′′ K′ (w) 2 J m (u ) K′ (w ) β m 1 1 ++ m n+ n2 m= (u ) wK m (w) 1 uJ m (u ) 2 wK m (w) k0 u 2 w2 uJ m 2

u 2= a 2 n12 k02 β 2

(

)

2 w2= a 2β 2 n2 k02

(

)

n1, n2, a,ω (k0 )

β mn

模式：每一个传输常数对应着一种可能的光场分布对每个 …… 此处隐藏：9532字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……