3.3.1二元一次不等式(组)表示的平面区域课堂实录

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课堂实录

《二元一次不等式（组）与平面区域》

双鸭山市第三十一中学

高占云

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§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域——课堂实录

【教学目标】

1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域.

2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。 【教学重点】

从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式（组）表示的平面区域。 【教学难点】

如何确定不等式Ax By C 0(或<0)表示Ax By C 0的哪一侧区域. 【教学过程】

一、提出问题、创设情境

在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。（板书课题） 现看一个实际例子：

一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？

问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？

教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？

2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？ 3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？

生：仔细读题独立思考。

师：生活中，常常会遇到此类对有限资源如何合理分配利用，使其达到最优效果的问题。尤其是在国民经济、军事、管理决策等领域，为此科学的管理是一种重要的方法和手段。 师：请同学们考虑这个问题要大家做什么事？ 生：要投资。

师：那投资的目的是什么？ 生：获利

把实际问题 转化 数学问题：

设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。 （把文字语言 转化 符号语言）

（资金总数为25 000 000元） x y 25000000

（1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上）

(12%)x+(10%)y 30000 即12x 10y 3000000

（2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值） x 0,y 0

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（3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件： 师：如何设立变量，将限制条件用数学语言表示。 生：独立探究试列出有关的不等关系 师：巡视

x y 25

师：板演列出的不等式组。 2x y 20

x 0,y 0

二、尝试探究，归纳猜想

（一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义: 师：给出二元一次不等式组的定义。

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。 （二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集:

问题2：平面直角坐标系内的点被直线2x y 20分为哪三类（或三部分）？以上述解为坐标的点分布在哪个区域？师：什么是二元一次不等式组的解？ 生：根据之前的讨论试给出定义： 师：及时补充共同做答

1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。

2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。 （三）二元一次不等式（组）解集的表示方法:

1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？是数轴上的区间。 2.探究:

问题2：平面直角坐标系内的点被直线2x y 20分为哪三类（或三部分）？以上述解为坐标的点分布在哪个区域？

问题3：直线2x y 20右上方的平面区域如何表示？左下方的平面区域呢？

教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？

师：请在直角坐标系中表示出二元一次方程 y＝－2x 20的解集。 生：将2x y＝20改写为y＝－2x 20，得到直线。

教师引导：y＝－2x 20是直线方程，画出直线，直线上点的坐标（x，y）满足方程y＝－2x 20 思考：二元一次不等式y －2x 20的解集与y＝－2x 20的解集有什么关系 ？ 满足

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y －2x 20的点在哪个区域呢？满足y －2x 20的点在哪个区域呢？

教师引导：取几个特殊点代入

设点A是直线y＝－2x 20上的点，选取点，使它的坐标满足不等式y －2x 20，请同学们完成下面的表格：

师：设点P(x,y1)是直线 y＝－2x 20上一点，若y1 y2，试探究点(x,y2)的位置？y1>y2呢? 生：思考讨论，并按要求填定下表

师：演示 2x y 20的解集表示的图形。 学：思考、讨论、交流，归纳总结： 三、合作交流，解决问题

师：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式y －2x 20的解为坐标的点都在直线

y＝－2x 20的右上方；反过来，直线y＝－2x 20左下方的点的坐标都满足不等式y －2x 20。

生：在平面直角坐标系中，不等式y －2x 206表示直线y＝－2x 20右上方的平面区域。 类似的：二元一次不等式y －2x 20表示直线y＝－2x 20左下方的区域。

直线x-y=6叫做这两个区域的边界。 由特殊例子推广到一般情况：

二元一次不等式Ax+By+C＞0（<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 四、归纳总结、揭示新知

问题4： Ax By C 0表示的平面区域与Ax By C 0表示的平面区域有何不同？如何体现这种区别？

师：根据二元一次不等式表示哪个平面区域的概念引导学生体会同一侧的所有点的特征。 生：通过思考，尝试给出平面区域的判断方法。 师：帮助学生完善结论。

问题5：如何判断Ax By C 0表示直线Ax By C 0哪一侧平面区域？

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生：直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)代入Ax+By+C所得实数的符号都相同，只需在直线的某一侧任取一点(x0,y0),根据Ax+By+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线的哪一侧区域，C≠0时，常把原点作为特殊点。 五、应用新知，练习巩固

例1：画出不等式x+4y<4表示的平面区域。

（让学生按照总结的方法，在坐标系中画出不等式x+4y<4表示的平面区域，教师检查学生画图的情况。）

师启发：“你们是怎么画出图像的？谁能总结一下画图的过程？” 解：先画直线x 4y 4（画成虚线）.

取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0,

∴原点在x 4y 4表示的平面区域内，不等式x 4y 4表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C 0时，常把原点作为此特殊点。

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