数学思想与数学文化——第四讲 数学分支介绍---分析学

数学思想与数学文化

《数学思想与数学文化》第四讲 数学思想与数学文化》

数学分支介绍---

分析学

数学思想与数学文化

内0.前言

容

1.微积分学及其发展道路 2.分析学的分支

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0. 前 言在一切理论成就中，未必再有什么像19世纪下半叶 微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。 ---恩格斯《自然辩证法》 微积分，或者数学分析，是人类思维的伟大成果之 一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它 成为高等教育的一种特别的有效工具。遗憾的是， 微积分的教学方法有时流于机械，不能体现出这门 学科乃是一种撼人心灵的智力奋斗的结晶。 ---R·柯朗

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1.微积分学及其发展道路 1.微积分学及其发展道路微积分学---是研究函数微分与积分性质与 应用的一个数学分支。 微积分的出现，是由初等数学向高等数学 转变的一个具有划时代意义的大事。 但是，在微积分发展的过程中也曾产生过 一些“混乱”或者说“神秘性”。这种 “神秘性”主要集中在“无穷小量”上。

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16世纪的欧洲向自然科学提出两个基本 问题： (1)已知路程求速度； (2)已知速度求路程。 在等速运动的情况下，这两个问题可以 用初等数学来解决，但在变速的情形， 只用初等数学就无法解决了。

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由于笛卡尔(R.Descartes,1596-1650) 等人创立了解析几何学，开始有了变量的概 念，并把描述运动的函数关系和几何中曲线 或曲面问题的研究统一了起来。 前面所讲的力学中两个最基本的问题正好与 初等几何一直未解决的两类问题完全一致。 这两个问题是： (1)求任意曲线的切线； (2)求任意曲线所围成的面积(或求任意曲面 所围成的体积)。

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★Kepler在于1615年写的《酒桶的立体几何学》 一书中，求出了87种旋转体的体积； ★1635年，意大利数学家卡瓦列利 (B.Cavalieri,1598-1647)出版了《不可分连 续量的几何学》,书中引入了所谓“不可分 量”,并提出了卡瓦列利原理，它是计算面积 和体积的有力工具；

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★1656年，英国人沃里斯(J.Wallis, 16161703)把卡瓦列利方法系统化，使“不可分量” 更接近于定积分的计算，在《无穷算术》中明 确提出了极限思想； ★费马于1638年在《求最大值和最小值的方法》 中给出了求曲线的切线和函数极值的方法；

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★牛顿在剑桥大学的老师巴罗(I. Barrow, 1630-1677)不仅给出了求曲线切线的方法，而 且也揭示了求曲线的切线和求曲线所围成面积这 两个问题的互逆性。 ★中国古代数学家刘徽和祖冲之的儿子祖暅对体 积的计算也做过重要的贡献。祖暅于5世纪提出 并证明了“幂势既同，则积不容异”这个原理， 即空间体积，若其底、高分别相等，等高处的截

面积均相等，则两空间体的体积必相等(卡瓦列 利原理) 。

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★牛顿和德国数学家莱布尼兹(G. W. Leibniz, 1646-1716)在前人工作的基础上，分别从力 学和几何学独立地创立了微积分学。 ★牛顿侧重于力学研究，突出了速度的概念，考 虑了速度的变化，建立了微积分的计算方法。 他于1665年创造了“流数法”,并利用这个方 法从行星运动三大定律推出了万有引力定律， 再根据万有引力定律解决了许多力学和天文学 的问题。

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★莱布尼兹则突出了切线的概念，从变量的有限

差出发引入微分概念，他特别重视运算符号和法 则。★恩格斯说过：“微积分是牛顿和莱布尼兹大体

上完成的，但不是由他们发明的。”

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莱布尼茨(德，1646-1716)

牛顿(英，1642-1727)

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★微积分刚一形成，就在解决实际问题中显示出 强大的威力。例如，在天文学中，它能够精确 地计算行星、彗星的运行轨道和位置。 ★英国天文学家哈雷(E. Halley, 1656-1742)就 通过这种计算断定1531年、1607年、1682年出 现过的彗星是同一颗彗星，并推测它将于1759 年再次出现，这个预见后来果然被证实。

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★虽然微积分的应用愈来愈丰富，但当时的微分

和积分并没有确切的数学定义。特别是一些定 理的证明和公式的推导，在逻辑上前后矛盾， 不好理解，使人感到可疑，但推出的结论往往 是正确无误的。这样，微积分就具有了一种 “神秘性”。

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这种“神秘性”集中体现在当时对“无穷小 量”的认识上。牛顿在一些经典的推导中，他 既用无穷小量作分母进行除法，这意味着无穷 小量不是零；然而他又把被无穷小量所乘的项 当做没有而去掉，这说明他又认为无穷小量是 零。奇怪的是，这样所推导的公式在力学和几 何学的应用中证明了它们都是正确的。

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附：牛顿在1704年发表了“曲线的求积”, 其中他确定了x3的导数(当时他称之为流数)。 牛顿所用方法意译如下：当x增长为x+0 时， 幂x3变为(x+0)3 或者x3+3x2·0+3x·02+03,它们 的增量分别是0和3x2·0+3x·02+03。这两个增 量与x的增量0的比分别为1与3x2+3x·0+02,然 后让增量消失，则它们最后比将为1比3x2。从 而x3对x的变化率为3x2。