6 定积分的换元积分法和分部积分法

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§5.3

定积分的换元积分法和 分部积分法

介绍定积分的计算方法与技巧

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引例1 计算

02

1

1 x2 d x .

解

先用不定积分求被积函 数的一个原函数：

1 x d x

x sin t dx cos tdt

1 cos t d t (1 cos 2 t ) d t 22

t sin 2 t C 2 4 x sin t 1 1 2 arcsin x 2 x 再由牛顿 — 莱布尼兹公式 ， 得

1 x2 C

0

1

1 1 2 1 x d x arcsin x x 2 2

2 1 x

1 0

4

.

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由公式

a f ( x ) d x=F (b) F (a )

b

是容易

计算出定积分。但通常先需要求不定积分

f ( x )dx 以得到被积函数的一个原函数从而简化了计算 。

F ( x) ;

然后才能利用这个公式计算定积分。 定积分的换元 法与分部法能综合这两步，

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一、定积分的换元积分法 定理 函数 假设f ( x ) 在 [a , b]上连续,

x (t ) 满足条件:

(1) ( ) a ,

( ) b;

且a ( t ) b,

(2) (t ) 在 [ , ](或[ , ]) 上具有连续导数, 则有

b a

f ( x )dx f [ (t )] '(t )dt .

证明？

换元必换限，不换元不换限。

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注意: 当

时, 换元公式:

b a

f ( x )dx f [ ( t )] ' ( t )dt .

仍成立.

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例1 解

求定积分 令x

t cosx

2 0

cos 5 x sin xdx.

x 0 2 0 5

2

则 dt sin xdx t 0,

t 1,0 5

t cos x sin xdx 1 t dt 0 t dt 6 注意: 换元必换限，不换元不换限。1 5

61

0

1 . 6

2 0

cos 5 x sin xdx 2 cos 5 xd (cos x )0

1 1 cos 6 x 2 0 . 6 6 6 0

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例2 求定积分 解

02

a

a x dx (a 0).2 2x a sin t 2 0 dx a cos tdt x:0 a t :0

0

a

a x dx2

2

a 1 sin2 t a cos tdt

a 2 02 cos t cos tdt a 2 02 cos2 dta (1 cos 2t )dt 22 a2 1 a 2 t sin 2t . 2 2 4 0

2 2 0

注意: 由定积分的几何意义亦可得出结果。数统教研室

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例4 计算1

2 x 2 x cos x 1 1 1 x 2 dx.1

1 2 x2 x cos x dx dx 解 原式 1 2 2 1 1 1 x 1 1 x

偶函数 1 x2 4 dx 0 2 0 1 1 x1 2 2

奇函数

x (1 1 x ) 4 1(1 1 x 2 )dx 4 dx 0 2 0 1 (1 x ) 4 4 1 0

1 x dx2

4 .数统教研室

单位圆的面积

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二、定积分的分部积分法

v 设函数 u( x ) 、 ( x

) 在区间 [a , b] 上具有连续导数,则有( uv )' u' v uv ' ,

b a

( uv )' dx [uv ]b , a

[uv ]b b u' vdx b uv' dx, a a a

udv [uv ]b b vdu. a ab a

定积分的分部积分公式

udv uv vdu.

不定积分的分部积分公式数统教研室

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例5 计算e 1 e

e 1 e

| ln x | d x .

解

| ln x | d x ( ln x ) d x ln x d x1

1 1 e

e

x ln x

1 1e

d x x ln x d xe 1 1

1 1 e

e

1 2(1 ). e

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计算

02 x cos xdx

.

解：

2 0

x cos xdx 2 xd (sin x)0

2 [ x sin x]0 2 sin xdx 0

[.

2

0 sin 0] [ (cos x ) 02

(cos cos 0) 1 2 2 2数统教研室

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例6 求

2 0

x 2 sin xdx.

解 由分部积分公式得

2 0

2 x 2 sin xdx 02 x d ( cos x )

2 x 2 ( cos x ) 0 2 cos xd ( x 2 )

2 2 x cos xdx0

0

再一次用分部积分公式，有

2 0

2 x cos xdx 2 xd (sin x ) x sin x 0 2 sin xdx 0

2

0

cos x

2 0

2

1

于是

2 0

x 2 sin xdx 2 2 x cos xdx 2. 0

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例7 计算 解

0 e

x

cos x d x . 2 0

2 0

e x cos x d x e x cos x

2 e x sin x d x0

1 2 e x sin x d x0

1 e x sin x 2 2 0

2 0

2 e x cos x d x0

1 e e cos x d xx

故

1 2 2 e x cos x d x ( e 1) . 0 2数统教研室

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由曲线y=f (x),y=g(x)及直线x=a,x=b所围成的图形的面积,也可以按如下方法求面积： 看作是两个曲边梯形面积的差:

A a f ( x )dx a g( x )dxb b

y

y=f (x)

y=g(x) y=g(x)

O

a

b

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例1 计算由两条抛物线：y2 x、y x 2 所围成的图形 的面积. 解 作图如右，选取 x 作积分变量, 面积微元： dA ( x x )dx2

y 1 y2 x y x 2

得所求的图形面积：

A dA ( x x )dx2 0 0

1

1

2 1 3 ( x x ) 3 3 0

3 2

1

1 3

A(x)0 x x+dx 1 x

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可见，定积分求平面图形的方法步骤： (1)画草图并求曲线交点； (2)确定求哪块面积，进行“面积组合”(即 由定积分表示的曲边梯形来划分这块面积，哪些 该加，哪些该减，注意“曲边梯形”一定是以x 轴为一边，两条竖直线为另两边); (3)以x的范围确定积分上下限，列出定积分 表达式，用定积分表示这块面积； (4)利用牛莱公式，求定积分。

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