总结二次函数的相关知识点

初中数学中“二次函数”的性质及习题总结

1. 总结二次函数的相关知识点、性质.

1.1.

定义：一般地，形如y ax2 bx c （a,b,c为常数，a 0）的函数叫做二次函数，其中x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项、一次项系数和常数项 注：a 0是为了保证二次项系数不为0，如果为0，则在二次函数y ax2 bx c中的二次项ax2为0，即不存在二次项，顾名思义，就不是二次函数了，但b,c是可以为0的，因为它们是不会影响二次项的存在： （1）当b 0，c 0时，有y ax2 （2）当b 0, c o时，有y ax2 c （3）当b o，c 0时，有y ax2 bx （4）当b 0，c o时，有y ax2 bx c 1.2. 二次函数的图象为抛物线.

注: (1)满足函数关系式的所有数对(x,y)都在该函数的图象上; (2)凡是在函数图象上的点(x,y)都满足该函数的关系式. 1.3.各种形式下的二次函数及其图象. 1.3.1 函数y ax2及其图象

例1: 画出下列函数的图象

1

①y x2 ②y x2 ③y 2x2

21

④y x2 ⑤y x2 ⑥y 2x2

2

总结: 在形如y ax2的函数图象中 ⑴ 当a﹥0时,开口向上，有最小值0;

当a﹤0时,开口向下，有最大值0. ⑵ 当a越大，开口越小；

当a越小，开口越大.

⑶ 对称轴为y轴，即直线x 0.

⑷ 函数 y ax2的图象一定过原点 0,0 . ⑸ 顶点坐标为（0,0）.

⑹ 关于x轴对称的图象，其函数解析式的整体只差一个“-”号. 1.3.2 函数y ax2 c及其图象 例

2： ①y x2 1 ②y x2 2 ③y x2 1

④y x2 2⑤y x2 2 ⑥y x2 1

总结：在形如y ax2 c的函数图象中 ⑴ c为图象与y轴交点的纵坐标； ⑵ 对称轴为y轴，即直线x 0. ⑶ 顶点坐标为（0,c） 1.3.3 函数y ax2 bx及其图象

例3：①y 2x2 4x ②y 2x2 4x ③y 2x2 4x ④y 2x2 4x

总结：在形如y ax2 bx的函数图象中 ⑴ 函数y ax2 bx的图象一定过原点 0,0 .

bb4ac b2

⑵ 对称轴为直线x . 顶点为（ ，）.

2a2a4a

1.3.4 函数yax2 bx c及其图象

例4：①y 2x2 8x 2 ②y 2x2 8x 2

总结：在形如y ax2 bx c的函数图象中

⑴ 此类函数图象一定不过原点，因为c o，最一般，没有特殊的地方.

bb4ac b2

⑵ 对称轴为直线x . 顶点为（ ，）.

2a2a4a

1.3.5 ：归纳1.3.1、1.3.2、1.3.3、1.3.4总结：

在二次函数 y ax2 bx c（a,b,c为常数，a 0）中： ⑴ 当a越大，开口越小； 当a越小，开口越大.

bb4ac b2

⑵ 对称轴为直线x . 顶点为（ ，）

2a2a4a

b4ac b2

⑶ ① 当a﹥0时，开口向上，有最小值，此时x .

2a4a

在对称轴的的左侧是减函数，即： x增大→y减小 在对称轴的的左侧是增函数，即： x增大→y增大

b4ac b2

② 当a﹤0时，开口向下，有最大值，此时x .

2a4a

在对称轴的的左侧是增函数，即： x增大→y增大 在对称轴的的左侧是减函数，即： x增大→y减小 （借助于图形进行理解）

⑷ 函数与y轴的交点坐标为（0,c）

⑸ 关于x轴对称的图象，其函数解析式的整体只差一个-号.

1.4： 二次函数三种不同的表达式及分析总结

⑴ 一般式：y ax2 bx c（a,b,c为常数，a 0）

分析：只要给出图象上任意三个点的坐标 x1,y1 、 x2y2 、 x3,y3 ，我们分别将这三个点的坐标 x1,y1 、 x2y2 、 x3,y3 代入y ax2 bx c中就会得到一个关于a,b,c的

y1 ax12 bx1 c 2

三元一次方程组 y2 ax2 bx2 c，三个未知数，三个方程，一定能解出a,b,c的值，

2y ax bx3 c 33

从而得到了要求的二次函数的解析式.

例5: 已知A 1,8 、B -1，-2 、C 2,19 三点在一个二次函数的图象上,求该二次函数的解析式

解:设该二次函数的解析式为y ax2 bx c

因为点A 1,8 、B -1，-2 、C 2,19 在该函数图象上,所以它们满足函数关系式,将这三点坐标分别代入y ax2 bx c中得:

8 a b c a 2

2

2 1 a b 1 c 解得 b 5

c 1 19 22a 2b c

故所求的解析式为: y 2x2 5x 1

b 4ac b2 2

⑵ 顶点式： y a x 或 y a x h k

2a 4a

b 4ac b2

分析：首先看顶点式y a x 的由来

2a 4a 方法：将一般式y ax2 bx c进行配方

2

2

y ax2 bx c

bc

a x2 x （化二次项系数为1）

aa

22

2bbbc ax 2 x （凑出完全平方式的展开式） 2a 2a 2a a 22 b4ac b (整理合并) a x 2 2a 4a

b 4ac b2

（将a分配进去） a x

2a4a

b4ac b2

（为了书写方便起见，我们不妨令：h ，k .则顶点式可写为:

2a4a

2

y a x h k

2

为什么将y a x h k叫做顶点式，或者说为什么要将一般式y ax2 bx c配成

2

形如y a x h k的这种形式呢？因为在y a x h k中能够很明显地表示出抛物

2

2

线的顶点坐标，即最高点或最低点（与a的正负有关）的坐标

顶点坐标（ h,k），即对称轴为x h

例6：求函数的y 2x2 8x 2的顶点坐标与最值及对称轴.

解: y 2x2 8x 2

配方得y 2 x 2 10 则顶点坐标为 2, 10 ,对称轴为x 2

2

二次项系数为2﹥0, 此函数有最小值 10.

b4ac b2问题:为什么顶点是 h,k 即( ,

2a4a

2

2

b4ac b2

)而不是(,)

2a4a

2

因为在形如y a x h k中, x h 是非负数,即 x h 0

2

① 当a﹥0时，有最小值，如果 x h 0，则y的值就是给k加了一个大于0的数

22

a x h ，那么要使成为最小值，只需使得给k加的数a x h 的值最小即可，即22

a x h 最小可取为0，要使 x h 0则只有x h 0从而x h

2

② 当a﹤0时，有最大值，如果 x h 0，则y的值就是给k加了一个小于0的数

22

a x h ，那么要使成为最大值，只需使得给k加的数a x h 的值最大即可，即22

a x h 最大可取为0，要使 x h 0则只有x h 0从而x h

4ac b2

③ 直线x h也就是对称轴了，当x h时，得到的y值为也就是图象的顶

4a

点纵坐标，即函数的最大值或最小值（y a x h k中，x h时，a x h 0，

2

2

4ac b2

即，y k ）

4a

b4ac b2

综合①②③这就是顶点为什么取（ h,k）即( ,)为顶点.

2a4a

④ 增减性：

i ： 当a﹥0时 在对称轴的左侧x增大→y减小

在对称轴的右侧x增大→y增大

ii： 当a﹤0时，在对称轴的左侧x增大→y增大

在对称轴的右侧x增大→y减小 ⑤ 平移 ：

口诀：左“+”右“-” 上“+”下“-”

口诀的解释说明：二次函数的平移，首先必须要化成顶点式，即：y a x h k的形

2

式.

i：左右平移时，是给x“+”或“-”

如：将函数y 2x2 8x 2的图象向左平移5个单位长度后的解析式为？首先化一般式y 2x2 8x 2为顶点式y 2 x 2 10，然后给x加5即，y 2 x 5 2 10，

2

2

化简得平移后的函数解析式为 y 2 x 7 10

2

ii：上下平移时，是给k …… 此处隐藏：5011字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……