概率论与数理统计论文——论集齐赠品有奖活动的欺骗性

概率论论文

[沈阳工业大学]

论集齐赠品有奖活动

的欺骗性

沈阳工业大学

自动化1102

2013/12/16

概率论论文

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日前，哇哈哈推行过一次“收集十二生肖送童装”活动，活动的内容是，每箱内装有十二生肖的一种，集齐十二种就有大奖送出，这种吸引人购物的销售模式可以说是受许多商家喜爱，而无数的消费者也因此增大购物欲望，甚至许多不理性的消费者不因货物而购买，只为了那个所谓“收集有大奖”的活动。

然而，这种活动真的是能够让人完成么？商家真的想让消费者获得更大的收益么，很明显，作为一个商人这是不可能的。商家假借这“大奖”的活动增加促销量，然而，所谓的大奖却是虚假的。根据概率的推算，这种大奖获奖的概率非常的低，所获得的利润却是支出的许多倍。

首先可以就这个所谓的“十二生肖”活动谈一谈。

如果要收集全这些生肖，会要多久，会要买掉多少东西，花掉多少钱？

首先假设，商家发放这些生肖的概率是相同的，也就是说每一种生肖的在某一地区的发放量是相同的。

接下来开始证明

设M为已持有k(k≤n)个不同款式生肖的情况下，欲得到一个新生肖所需购买该商品数量的数学期望。

此时，买到一个新玩具的概率为P1=(n-k)/n

买到一个已有玩具的概率为P2=k/n

又因为，买到已有玩具时仍需购买M件商品才能得到新生肖， 即 有M=P1 1+P2(M+1)

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故M=n/(n-k)。

此时的期望E(n)=M0+M1+M2+...+Mn-1=n(1+1/2+1/3+...+1/n)。 这样便可以得出结论：

若每购买1箱哇哈哈，就会赠送生肖1个。如果总共有n款不同的玩具。(且只有当购买后才能知晓获得的是n个中哪一款)那么要想集齐一整套该玩具，则所需购买该商品数量的数学期望为E(n)=n(1+1/2+1/3+...+1/n)。

在十二生肖活动中，共有12种生肖，将n=12带入数学期望方程中，E(n)=37.239。

也就是说，要想收齐这些生肖，大约需要买37.239箱哇哈哈。 那么我们根据这个数学期望进而推出一个推论；

推论1：如果该商品单价x元，则要想集齐一套n个生肖所要花费的金额的数学期望：

S(n)=nx(1+1/2+1/3+...+1/n)

假设一箱哇哈哈的价钱为45rmb，此时我们将得到所需要话费的金额为1675.755rmb。

这可是一个很恐怖的数字，这代表着即使一位消费者获得了“大奖”，也只不过是自掏腰包买下了这个奖品，商家完完全玩不会亏一点的本钱。在许许多多的参加此项活动的消费者中，不难想到有许多人出于某些原因不会收全生肖，那可以说是之前所购买的的收益将不再存在，商家可以说是净赚了这些人的钱。

我们继续深入的想下去，如果，需要收集的物品更多呢？我们将得

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到这么一个推论：

推论2：函数E(n)=n(1+1/2+1/3+...+1/n)在N上是下凸函数，

故一套赠品的个数n越大，所需购买商品的数量则会越大的多的多。

然而，我们在此证明的前提是，每一种生肖的在某一地区的发放量是相同的。在商家的发放中，这根本是一个不可能的时间，商家会将同一地区发放获得概率不同的生肖，这样的收集的概率将更加的低。 举一个简单的例子，某地区发放A，B两种卡片，当每种均为5张时，我们假设第二次就获得AB两张卡片，此时p1=5/9，如果在这个地区发放4张A，6张B呢？此时的p2=24/45，明显p2<p1，类推下去，当卡片的种类越多，或者是发放数量越不平衡，那么可以收全的概率将更加的低。

将目光转向另个例子，小时候的小浣熊方便面可以说是家喻户晓了，其中每包内必有1张水浒卡片，想要集齐水浒108将，的数学期望为多少呢？

设买X包（X>108）小浣熊时，恰好集齐108种卡片。

即前（X-1）包中包含107种卡片，第X包恰好是最后一张卡片。 X可看作一个随机变量，其取值范围是100到无穷大之间的正整数。 因此，可通过如下公式求得X的数学期望：

E（X）= K*P（X K）∞

K 107

其中P（X K）是第包恰好买到的概率。

我们有：

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P（X K）=（1/100）*p（y）

这里p（y）表示剩余107张分布在前K-1包中的概率。由于剩下的一包有108种可能，而只有恰好抽到剩下的一张卡才行，所以要p（y）除以108才能算出P（X K）。

计算p（y）的分子。实际上问题等价于，将K-1包小浣熊分成107类，每类的个数不能小于1，问分法有多少种。即求如下不定方程的正整数解的个数：

X1+X2+X3+ +X107=K-1

根据不定方程原理，该方程正整数解的个数应该为

即：

(K+105)!106!(K-1)

而p(y)的分母应为107K-1 ，因此有： CK 1 107 1107 1,

(K 105)!

P(y)= 107K-1 *106!(K-1)!

综上：得出最后的数学期望

K(K 105)!

E（X）= 108*106!106!*107k-1 K 108

这样我们就求出了要想获得108张卡的期望。

通过这个几个例子的分析与计算，我们不难发现，这种所谓的“大奖”中奖的概率太过于小了，收集全所得出的花费的概率完全超过的奖品的价值，可以说是，花了高倍的金钱于时间获得了奖品，完全不值得。作为一个消费者何时何地的花费，如何的花费是一个必须思考∞

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的问题，万万不可头脑发热而高额消费，这样的赠品有奖活动可以说这是一种欺骗，一种因为碰运气，而获得购物欲望，进而花费大量的金钱与时间的错误行为。商家打着促销的旗号却赚的了更大的利润与名声。

若通过大量数据的调查，也会不难得出这一个结论：集齐赠品有奖的活动是一种欺骗消费者的活动。