1.2.1任意角的三角函数

学习目标：1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角 的余切、正割、余割的定义； 2、掌握三角函数值的符号的确定方法； 3、记住三角函数的定义域、值域，诱导公式(一); 4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。

学习重点、难点： 重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值

难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定

复习回顾 在初中我们是如何定义锐角三角函数的？P ca

sin cos tan

O

b

M

a c b c a b

新课引入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？Pa

O y

b

M

x

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？

其中 : OM a MP b OP r a 2 b 2y

MP b sin OP rOM a cos OP r

﹒P a, b

MP b tan OM a

o

﹒M

x

诱思探究 如果改变点P在终边上的位置，这三个比值会改变吗？

O

终边上的位置无关.

MP M P sin OP OP P(a,b) OM OM cos OP OP M x M MP M P tan OM OM 任意角 的三角函数值仅与 有关，而与点 P 在角的P

y

OMP ∽ OM P

﹒

1.任意角的三角函数定义(一)设角 是一个任意角， P( x, y) 是终边上的任意一点， 点 P 与原点的距离 r

x2 y2 0

y y sin 那么① 叫做 的正弦，即 r r x x cos ② r 叫做 的余弦，即 r y y ③ x 叫做 的正弦，即 tan x 0 x

) 例1 已知角 的终边经过点 P0 ( 3, 4,求角 和正切值 . 解:由已知可得 r | OP0 | ( 3)2 ( 4)2 5

的正弦、余弦

于是，

y 4 sin ; r 5cos x 3 ; r 5

y 4 tan x 3

能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢？ 以原点为圆心,以单位 若 OP r 1,则 长度为半径的圆叫做Y

单位圆.

P(a,b)

MP sin OPOM cos OP

b

O M X

a b MP tan OM a

2.任意角的三角函数定义(二)设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x, y )那么:(1)y 叫做

α的终边

的正弦，记作 sin ,即 sin y ; (2)x 叫做 的余弦，记作 cos ,即 cos x ; y y tan (3) 叫做 的正切，记作 ，即 tan ( x 0)xxy

﹒ P x, yO

所以，正弦，余弦，正切都是 以角为自变量，以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数， . A 1,0 我们将他们称为三角函数 x使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域.

实例剖析

1 3 例2:如图已知角α的终边与单位圆的交点是 ， P( , ) 2 2求角α的正弦

、余弦和正切值。 解：根据任意角的三角函数定义：

y1 3 P( , ) 2 2

3 sin 2tan 3

1 cos 2

O

x

点评：若已知角α的终边与单位圆的交点坐标，则可直接利用 定义求三角函数值。

求 5 的正弦、余弦和正切值. 3 5 ,易知 AOB 解：在直角坐标系中，作 AOB 例23

的终边与单位圆的交点坐标为5 3 所以 sin 3 2,

y

5 1 cos 3 2

5 tan 3 3

1 3 ( , ) 2 2

,

5 3

o

﹒

A

x

﹒B点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位圆的交点， 然后再利用定义求三角函数值。

练习：求下列各角的三个三角函数值： 3 ( 1 ) ; (2 ) ; (3 ) . 2 ,所以 解：(1)因为当 0 时， x r ,y 0

0

tan 0 0 cos0 1 (2)因为当 时，x r y 0 ,所以 ， sin 0 cos 1 tan 0 3 (3)因为当 时， x 0, y r ,所以 23 sin 1 23 cos 0 2

sin 0 0

3 tan 不存在 2

巩固提高

2 2 , ) ,求角α 的 练习1:已知角α 的终边经过点 P ( 2 2 正弦、余弦和正切值。2.利用三角函数的定义求 7 的三个三角函数值sin 7 1 , 6 2 7 3 cos , 6 2 7 3 tan 6 3

6

练习3. 已知角 的终边过点 P 求

12,5 52 13

,

的三个三角函数值.2 2

解：由已知可得：

r x y y 5 于是，sin r 13 y 5 tan x 12

12

2

x 12 cos r 13

探究：1.三角函数的定义域和值域 三角函数 定义域

sin cos tan ( (

k , k Z 2

R R

[ 1,1] [ 1,1] R((

值域

)

y

2.三角函数值在各象限的符号(x )

sin

o )(

)( ) cos o )( x )

y

) ( ) tan o ) ( x )

y

(