12章动能定理习题课与实例

第十二章 动能定理习题课及应用实例

主要内容 复习第12章动能定理 第12章动能定理习题讲解

哈工大、华中科技大考研真题 动力学普遍定理的综合运用

1、本章内容复习12章核心内容？两边 求导 动能定理：T2-T1=W12 功由势能提 供

功率方程 外力做功的计算： 1.常力、变力做功(重力、 弹性力作功); 2.刚体定轴转动、刚体平 面运动时外力做功。

机械能守恒

动能的计算： 质点 质点系 平动刚体的动能 定轴转动刚体动能 平面运动刚体的动能

1.1外力作功外力作功的定义W W F d r (一般式) M1M2

M2

M1

(Fx dx F y dy FZ dz )(解析式)

常力的功 重力的功 弹性力的功

W FS cos( F , v)

W mgh1 W k ( 12 22 ) 2 2 W Md 1

转矩的功

动滑动摩擦力的功

W FS ( F const )

1.2动能的计算质点 质点系1 2 T mv 2

(动能是物体机械运动的度量)

1 2 T mi v i i 1 2

n

刚体平动时 刚体

1 2 T mvC 2

多刚体系统？

1 2 刚体绕定轴转动时 T J z 21 2 1 1 2 刚体平面运动时 T mvC J z J P 2 2 2 2

1.3动能定理的两种形式微分形式：

dT Wi积分形式：

T2 T1 Wi通常用积分形式。

1.4运用动能定理的基本步骤(1)选取研究对象。一般情况下取整个系统为研究对象 (因理想约束情况下，约束反力不作功)。 (2)作受力分析，画受力图。 (3)计算力的功：计算系统由初始位置到末位置时所受的 全部主动力(包括作功的约束力)的功的和。 注意：无论外力还是内力，只要做功，都必须计算其功。 (4)作运动分析：要分清研究对象中每个物体的运动，还 要分清已知运动学参量和未知的参量及相互之间是哪种运 动学关系。 (5)计算动能，建立动能定理方程：计算在运动始末两个 位置的瞬时动能，若应用运动定理的微分形式求加速度， 则计算系统在任意瞬时的动能。

(6)建立运动学补充方程：动能定理只有一个标量方程， 若末知量>1,应建立运动学补充方程。

1.5机械能守恒定律T1 V1 T2 V2 const (1)机械能守恒定律

势能：质点系在某一位置的势能等于质点从该位置运动到零势能位置过程中，有势力作功之和。

d (T V ) 0 dt

(2)

重力势能两种势能的计算

V mg ( Z C1 Z C 0 )1 V k ( 12 02 ) 2

弹性势能

用机械能守恒定理的解题步骤与应用动量定理基本相同， 只是计算势能时，注意零势面的选择。通常采用(2)式。

1.6功率与功率方程 w 功率： p dt p F v Fv cos( F , v) p M Wi dT 功率方程： P dt dt

dT P输入 - P

输出 - P损耗 dt

1.7 理想约束理想约束的概念：约束力不作功或作功的总和等于零的约束。 常见的理想约束： 光滑固定支承面、铰链支座、辊轴支座； 连接两个刚体的光滑活动铰链(中间铰); 连接两个质点的无重刚杆； 质量不计且不可伸长的柔软细绳； 刚体在固定面上作纯滚动。

1.8解题方法与技巧

动能是标量且永远为正值；功是代数量，有正负，须 正确判断其正负，及哪些力做功及哪些力不做功。 重力之功只与起始和终了位置有关，而与路径无关。 弹性力之功也只与起始和终了位置上弹簧变形有关， 与路径无关。当初变形大于末变形时，弹性力之功为 正，反之为负功。 要熟记常见力之功及刚体平动、转动和平面运动时具 有的动能的计算。这里要明确刚体平面运动时的动能 是随质心平动和绕质心转动动能之和。 要明确质点在势力场中运动的特征是机械能守恒，利 用机械能守恒定理，易得到质点速度与位置的关系。 不要将动能定理和机械能守恒定理混淆。动能定理建 立了机械能和其他形式能量转换的定量关系，而机械 能守恒定理只建立了质点系动能和势能之间的转换关 系，且只适用于保守系统或非保守力不做功的系统。

习题详解12—2 如图所示，用跨过滑轮的绳子牵引质量为2kg 的滑块A沿倾角为30的光滑斜槽运动。设绳子拉力F= 20 N。计算滑块由位置A到位置B时，重力与拉力F所 作的总功。 分析： 知识点：外力作功 常力的功

W FS cos( F , v)

C

重力的功

W mgh

解：

重力作功：Wg mgh mgAB sin 30F力所做的功：WF=F(OA-OB)其中：OA=OC / sin 45 OB=OC / sin 60

AB OC * Cot 45 OC * Cot 60 (6 2 3 )m

因此：W=Wg WF 6.29 J

C

12-7 平面机构由两匀质杆AB,BO组成，两杆的质量 均为m.长度均为l,在铅垂平面内运动。在杆AB上作 用一不变的力偶矩M,由图所示位置从静止开始运动， 不计摩擦。求当杆端A即将碰到铰支座O时秆端A的速 度。

分析： 此过程中，系统受主动力矩 M以及两杆重力的作用，用 动能定理。 初始静止，T1 0 当A端即将碰及O点时， 系统的动能：

T2 TOB TABOB杆定轴转动TOB 1 1 2 2 2 J O OB ml OB 2 6

AB杆平面运动 TAB

1 2 J P AB 2

如何由JP?

OB杆作定轴转动，AB杆作平面运动， P为AB杆的瞬心。

PB BO l vB ABl OBl AB OB 1 1 2 2 J P AB J O OB 2 2

T2 TAB TOB

1 1 2 3 2 1 1 2 2 [ ml ml ( l ) ] ( ml ) 2 12 2 2 3

l W 外力作功为： 12 M 2mg (1 cos ) 2

4 2 2 ml 3