高考第一轮复习数学：8.2 双曲线

8.2 双曲线

y2x2

对于焦点在y轴上的双曲线2－2=1（a＞0，b＞0），其性质如何？焦半径公式如何

ab

推导？

●点击双基

y2x2

1.（2004年春季北京）双曲线－=1的渐近线方程是

49

3294

A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x

2349

解析：由双曲线方程可得焦点在x轴上，a=2，b=3.∴渐近线方程为y=±

b3

x=±x.

2a

答案：A

x2

2.过点（2，－2）且与双曲线－y2=1有公共渐近线的双曲线方程是

2

y2y2x2x2A.－=1 B.－=1

2442y2y2x2x2C.－=1 D.－=1

4224

x2

解析：可设所求双曲线方程为－y2=λ，把（2，－2）点坐标代入方程得λ=－2.

2

答案：A

y2x2

3.如果双曲线－＝1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的右准线距

6436

离是

32732

C.27 D. 75

8832

解析：利用双曲线的第二定义知P到右准线的距离为=8³=.

e105

答案：D

A.10 B.

y2x2

4.已知圆C过双曲线－=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆

916

心到双曲线中心的距离是____________.

解析：由双曲线的几何性质易知圆C过双曲线同一支上的顶点和焦点，所以圆C的圆

心的横坐标为4.故圆心坐标为（4，±

答案：

4716

）.易求它到中心的距离为. 33

16

3

5.求与圆A：（x+5）2+y2=49和圆B：（x－5）2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为________________.

解析：利用双曲线的定义.

y2x2

答案：－=1（x＞0）

916

●典例剖析

【例1】 根据下列条件，求双曲线方程：

y2x2

（1）与双曲线－=1有共同的渐近线，且过点（－3，23）；

916

y2x2

（2）与双曲线－=1有公共焦点，且过点（32，2）.

164

y2x2

剖析：设双曲线方程为2－2=1，求双曲线方程，即求a、b，为此需要关于a、b

ab

的两个方程，由题意易得关于a、b的两个方程.

y2x2

解法一：（1）设双曲线的方程为2－2=1，

ab

由题意，得

b4=， a3

( 3)2(23)229－=1， 解得a=，b2=4. 22

4ba

y2x2

所以双曲线的方程为－=1.

944

y2x2

（2）设双曲线方程为2－2=1.由题意易求c=2.

ab4(3)2

又双曲线过点（32，2），∴－=1. 22

ba

又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.

y2x2

故所求双曲线的方程为－=1.

128

y2x2

解法二：（1）设所求双曲线方程为－＝λ（λ≠0），

916

y2x211

将点（－3，2）代入得λ＝，所以双曲线方程为－＝.

91644

y2x2

（2）设双曲线方程为－＝1，

16 k4 k

y2x2

将点（32，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.

128

评述：求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素（a、b、c、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用.若已知双曲线的渐近线方程ax±by=0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2=λ（λ≠0）.

【例2】 （2002年全国，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2，求m的取值范围.

剖析：由|PM|－|PN|=2m，得||PM|－|PN||=2|m|.知点P的轨迹是双曲线，由点P到x轴、y轴距离之比为2，知点P的轨迹是直线，由交轨法求得点P的坐标，进而可求得m的取值 范围.

|y|

解：设点P的坐标为（x，y），依题意得=2，即y=±2x（x≠0）. ①

|x|

因此，点P（x，y）、M（－1，0）、N（1，0）三点不共线，得||PM|－|PN||<|MN|=2. ∵||PM|－|PN||=2|m|>0，

∴0<|m|<1.因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上.

y2x2

故2－=1.

1 m2m

②

m2(1 m2)

将①代入②，并解得x=， 2

1 5m

2

， 5

即m的取值范围为（－，0）∪（0，）.

55

评述：本题考查了双曲线的定义、标准方程等基本知识，考查了逻辑思维能力及分析问题、解决问题的能力.解决此题的关键是用好双曲线的定义.

∵1－m2>0，∴1－5m2>0.解得0<|m|<

y2x2

【例3】 如下图，在双曲线－=1的上支上有三点A（x1，y1），B（x2，6），C（x3，

1213

y3），它们与点F（0，5）的距离成等差数列.

（1）求y1+y3的值；

（2）证明：线段AC的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标.

剖析：可以验证F为焦点，利用第二定义可得三点到准线的距离也成等差数列，进而有三点纵坐标成等差数列，由此易得y1+y3的值.为求出AC的中垂线所过定点，不妨设想作出A与C关于y轴的对称点A′与C′.由双曲线的对称性，易知A′与C′也在双曲线上，且A′、B、C′满足题设条件，所以A′C′的中垂线也应过此定点.由两条中垂线关于y轴对称.所以定点应在y轴上.

（1）解：c= 13=5，故F为双曲线的焦点，设准线为l，离心率为e，由题设有2|FB|=|FA|+|FC|. ①

分别过A、B、C作x轴的垂线AA2、BB2、CC2，交l于A1、B1、C1，则由双曲线第二定义有|FB|=e|BB1|，|FA|=e|AA1|，|FC|=e|CC1|，代入①式，得2e|BB1|=e|AA1|+e|CC1|，

即2|BB1|=|AA1|+|CC1|.

于是两边均加上准线与x轴距离的2倍，有 2|BB2|=|AA2|+|CC2|，

此即2³6=y1+y3，可见y1+y3=12. （2）证明：AC的中垂线方程为

2

x1 x3x1 x3x12 x3y1 y3x1 x3

y－=－（x－），即y－6=－x+.

y1 y3y1 y32(y1 y3)2222

y3x3y12x12

由于A、C均在双曲线上，所以有－=1，－=1.

12131213

22

x12 x3y12 y3

相减得=.于是有

1312

②

2

x12 x31313

=（y1+y3）=²12=13，

y1 y31212

故②变为y=－

x1 x32525

x+，易知此直线过定点D（0，）.

y1 y322

评述：利用第二定义得焦半径，可使问题容易解决.中垂线过弦AC的中点，中点问题往

往把A、C的坐标代入方程，两式相减、变形，即可解决问题.

●闯关训练 夯实基础

y2x2

1.（2004年天津，4）设P是双曲线2－=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为

9a

3x－2y=0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若|PF1|=3，则|PF2|等于

A.1或5 B.6 C.7 D.9

解析：由渐近线方程y=

3

x，且a=2，∴b=3.据定义有|PF2|－|PF1|=4，∴|PF2|=7. 2

答案：C

2.（2005年春季北京，5）“ab<0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析：由ab<0，得a>0，b<0或a<0，b>0.

由此可知a与b符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然. 答案：C

y2x2

3.（2003年上海）给出问题：F1、F2是双曲线－=1的焦点，点P在双曲线上.

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