高斯消元法(含MATLAB编程)

高斯消元法(含MATLAB编程)

习 题 解 答1.用高斯消元法求解下列方程组 Ax b. 4 1 1 1 1 3 (1) A 1 2 2 b 0 ;(2) 2 2 1 1 1 1 3 2 1 1 1 4 3 2 b 1 3 4 3 2 3 4 1

用MATLAB编写高斯消元法程序如下： clear

format rat

高斯消元法(含MATLAB编程)

[m,n]=size(A);

for i=1:(m-1)numb=int2str(i); disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i);

endA end

高斯消元法(含MATLAB编程)

%回代过程

disp('回代求解')x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end

x(1)输入增广矩阵A=[1 1 -1 1;1 2 -2 0;-2 1 1 1] 第1次消元后的增广矩阵

高斯消元法(含MATLAB编程)

1 0

1 1

-1 -1

1 -1

第2次消元后的增广矩阵 0 3 1 1 0 1 0 0 回代求解 x = (2,2 ,3 )’

-1 -1 -1 2

3 1 -1 6

高斯消元法(含MATLAB编程)

(2) 输入增广矩阵 A=[4 3 2 1 1;3 4 3 2 1;2 3 4 3 -1;1 2 3 4 -1]

第1次消元后的增广矩阵4 0 0 0 3 7/4 3/2 5/4 2 3/2 3 5/2 1 5/4 5/2 15/4 1 1/4 -3/2 -5/4

第2次消元后的增广矩阵

高斯消元法(含MATLAB编程)

4 0

3 7/4

2 3/2

1 5/4

1 1/4

00

00

12/710/7

10/720/7

-12/7-10/7

第3次消元后的增广矩阵 4 3 2 1 1

00 0

7/40 0

3/212/7 0

5/410/7 5/3

1/4-12/7 0

高斯消元法(含MATLAB编程)

回代求解 x = (0,1,-1 ,0 )’ 2.用列主元消元法求解下列方程组 Ax b. 0 2 0 1 0 3 2 6 4 2 2 3 2 2 b (1) A 10 7 0 b 7 ;(2) 4 3 0 1 7 5 1 5 6 6 1 6 5 6

用MATLAB编写列主元消元法程序如下： clear

format rat

高斯消元法(含MATLAB编程)

[m,n]=size(A); for i=1:(m-1)

numb=int2str(i);disp(['第',numb,'次选列主元后的增广矩阵']) temp=max(abs(A(i:m,i))); [a,b]=find(abs(A(i:m,i))==temp);

高斯消元法(含MATLAB编程)

disp(['第',numb,'次消元后的增广矩阵']) for j=(i+1):m A(j,:)=A(j,:)-A(i,:)*A(j,i)/A(i,i); end A end %回代过程 disp('回代求解') x(m)=A(m,n)/A(m,m); for i=(m-1):-1:1 x(i)=(A(i,n)-A(i,i+1:m)*x(i+1:m)')/A(i,i); end x

高斯消元法(含MATLAB编程)

(1)输入增广矩阵A=[-3 2 6 4;10 -7 0 7;5 -1 5 6] 第1次选列主元后的增广矩阵 10 -3 -7 2 6 0 4 6 7 61/10 5/2 7

第1次消元后的增广矩阵 5 -1 5 10 -7 0 0 0 -1/10 5/2 6 5

高斯消元法(含MATLAB编程)

第2次选列主元后的增广矩阵 10 -7 0 0 0 5/2 -1/10 5 6

7 5/2 61/10

第2次消元后的增广矩阵 10 -7 0 7

0 0

5/2 0

5 31/5

5/2 31/5

回代求解 x = (1/4503599627370496,-1 ,1 )’

高斯消元法(含MATLAB编程)

(2) 输入增广矩阵 A=[0 2 0 1 0;2 2 3 2 -2;4 -3 0 1 -7;6 1 -6 -5 6]第1次选列主元后的增广矩阵 6 1 6 5 6 2 2 3 2 2 4 3 0 1 7 0 2 0 1 0

第1次消元后的增广矩阵1 6 5 6 6 0 5/ 3 5 11/ 3 4 0 11/ 3 4 13/ 3 11 2 0 1 0 0

高斯消元法(含MATLAB编程)

第2次选列主元后的增广矩阵

1 6 5 6 6 0 11/ 3 4 13/ 3 11 0 5/ 3 5 11/ 3 4

2 0 1 0 0第2次消元后的增广矩阵1 6 5 6 6 0 11/ 3 4 13 / 3 11 0 0 75 /11 62 /11 9 0 0 24 /11 37 /11 6

高斯消元法(含MATLAB编程)

第3次选列主元后的增广矩阵1 6 5 6 6 0 11/ 3 4 13 / 3 11 0 0 75 /11 62 /11 9 0 24 /11 37 /11 6 0

第3次消元后的增广矩阵1 6 5 6 6 0 11/ 3 4 13/ 3 11 0 0 75 /11 62 /11 9 0 0 0 39 / 25 78 / 25

回代求解 x = (-1/2 ,1,1/3,-2)’

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4. 用直接LU分解方法求1题中两个矩阵的LU分 解，并求解此二方程组。

1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 0 * 0 1 1 (1) 2 1 1 2 3 1 0 0 2 ' Ly b y (1, 1,6) Ux y x (2, 2,3)'

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3 2 1 1 4 3 2 1 1 4 3/4 4 3 2 1 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 ( 2) A : b 1/2 3 4 3 1 1/2 6/7 4 3 1 4 1 1/4 2 3 4 1 1/4 5/7 3 3 2 1 1 4 3 2 1 1 4 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 3/4 7/4 3/2 5/4 1/4 , 1/2 6/7 12/7 10/7 -12/7 1/2 6/7 12/7 10/7 -12/7 1 1/4 5/7 5/6 5/3 0 1/4 5/7 5/6 4 2 1 1 4 3 3/ 4 1 7 / 4 3/ 2 5/ 4 ,U L 1/ 2 6 / 7 1 12 / 7 10 / 7 1 5/ 3 1/ 4 5 / 7