《经济数学——微积分》2-3

《经济数学——微积分》第二章课件

第三节 无穷小与无穷大一、无穷小 二、无穷大 三、小结 思考题

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一、无穷小(infinitesimal)1. 定义 如果函数 f ( x ) 当 x → x0 (或 x → ∞ ) 定义:时的极限为零 ，那么称 f ( x ) 为当 x → x0 (或 x → ∞ ) 时的无穷小 .f (x) 为 当 x → x0 ( 或 x → ∞ ) 时 的 无 穷 小

ε > 0 , δ > 0 ,当0 < x x0 < δ 时，有 f ( x) < ε

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例如, 例如∵ lim sin x = 0, ∴ 函数 sin x是当x → 0时的无穷小.x →0

1 ∵ lim = 0, x→∞ x

1 ∴ 函数 是当x → ∞时的无穷小. x

( ( 1) n ( ( 1) n ∵ lim = 0, ∴ 数列{ }是当n → ∞时的无穷小. n→ ∞ n n

注意 (1)无穷小是变量 不能与很小的数混淆 不能与很小的数混淆; )无穷小是变量,不能与很小的数混淆 (2)零是可以作为无穷小的唯一的数 )零是可以作为无穷小的唯一的数.

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2. 无穷小与函数极限的关系 无穷小与函数极限的关系:理1 定 1 理x→x0

lim f ( x) = A f ( x) = A + α( x),

中 其 α(x)是 x → x0时 无 小 当 的 穷 .意义 (1)将一般极限问题转化为特殊极限问题 ) (无穷小 无穷小); 无穷小(2)给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达 式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).

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3. 无穷小的运算性质 无穷小的运算性质:定理2 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小 定理 在自变量的同一变化过程中 有限个无穷小 的代数和仍是无穷小. 的代数和仍是无穷小 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n 1 但 n 个 之和为 1不是无穷小 . n

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定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 在自变量的同一变化过程中,有极限的变量 推论 在自变量的同一变化过程中 有极限的变量 与无穷小的乘积是无穷小. 与无穷小的乘积是无穷小 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论 有限个无穷小的乘积也是无穷小

1 2 1 例如,当x → 0时, x sin , x arctan 都是无穷小 x x

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二、无穷大(infinite)绝对值无限增大的变量称为无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 无穷大义2 定 2 设 数 f (x)在 x0 某 义 函 一去 邻 内 定义 或 心 域 有 (

x 大于某一正数时有定义) 如果对于任意给定的正数 有定义) .如果 .

M(不论它多么大),总存在正数 δ(或正数 X ),使得 不论它多么大), ),总存在正数 ),使得 对于适合不等式 0 < x x0 < δ (或 x >X )的一切 x,对应的函数值 f (x)总满足不等式 f ( x) > M,时为无穷大, 则称函数 f (x)当x → x0(或x → ∞)时为无穷大, 记作x→x0

lim f ( x) = ∞ (或lim f ( x) = ∞

).x→∞

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特殊情形：正无穷大，负无穷大. 特殊情形：正无穷大，负无穷大.x → x0 ( x→∞ )

lim f ( x ) = +∞ (或 lim f ( x ) = ∞ )x → x0 ( x→∞ )

不能与很大的数混淆; 注意 (1)无穷大是变量 不能与很大的数混淆 )无穷大是变量,不能与很大的数混淆

lim f ( x ) = ∞是极限不存在的一 (2)x → x0

种特殊情形 .(3)无穷大是一种特殊的无界变量 但是无 )无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大. 界变量未必是无穷大

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1 1 例如, 当x → 0时, y = sin x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 .(1) 取 x k = 1 π 2kπ + 2 ( k = 0,1,2,3, )

1 1 y = sin x x

π y( x k ) = 2kπ + , 当k充分大时 , y( x k ) > M . 无界， 无界， 2 1 ( 2) 取 x k ′ = ( k ′ = 0,1,2,3, ) 2k ′π 当 k ′ 充分大时 , x k ′ < δ ,

但 y( x k ′ ) = 2k ′π sin 2k ′π = 0 < M . 不是无穷大.

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1 例 证明 lim = ∞. x →1 x 1证 M > 0. 要使1 > M, x 11 y= x 1

1 1 只要 x 1 < , 取δ= , M M1 1 1 = ∞. 当0 < x 1 < δ = 时, 就有 > M . ∴ lim x →1 x 1 M x 1

定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞ , 则直线 x = x 0是函数 y = f ( x )x → x0

的图形的铅直渐近线 . (vertical asymptote)

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定理4 无穷小与无穷大的关系) 定理4(无穷小与无穷大的关系)在自变量的同一 过程中,无穷大的倒数为无穷小; 过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无 穷小的倒数为无穷大. 穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论 关于无穷大的讨论, 小的讨论. 小的讨论 都可归结为关于无穷

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三、小结 思考题无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 无穷小与无穷大是相对于过程而言的 1. 主要内容 主要内容: 2. 几点注意 几点注意: 是变量,不能与很小 不能与很小( (1) 无穷小( 大)是变量 不能与很小(大) ) 无穷小( 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； 的数混淆，零是唯一的无穷小的数； (2)无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是 无穷多个无穷小的代数和(乘积) 无穷小； 无穷小； (3) 无界变量未必是无穷大 ) 无界变量未必是无穷大. 两个定义;四个定理 三个推论 两个定义 四个定理;三个推论 四个定理 三个推论.

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思考题在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 在自变量的同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 反之，无穷小的倒数是否一定为无穷大. 反之，无穷小的倒数是否一定为无穷大.

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思考题解答不一定. 不一定 0 是无穷小，但其倒数不存在 是无穷小，但其倒数不存在. 所以课本上表示为 “非零的无穷小的倒数是 无穷大” 无穷大” .

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练 习 题一、填空题: 填空题:

1. 凡无穷小量皆以

为极限 ________ 为极限

2.在 __________ 条件下 , 直

线 y = c 是函数

3. lim f ( x ) = A _______ f ( x ) = A + α ,x → x0

y = f ( x ) 的水平渐近线 .

( 其中 lim α = 0 ) .

4.在同一过程中 , 若 f ( x ) 是无穷大 , 则 ______ 是无穷小 .

x → x0

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1 + 2x 二、根据定义证明 : 当 x → 0 时 , 函数 y = x 是无穷大 ,问 x 应满足什么条件 , 能使 y > 10 4 .

1 1 三、证明函数 y = sin 在区间 ( 0 , 1 ] 上无界 , 但当 x x x → +0 时 , 这个函数不是无穷大 .