第11章习题课解答

1.求解微分方程y 4y 5y 0.

解答：特征方程为r2 4r 5 0，特征根为r1,2 2 i，从而原微分方程的通解为 y e2x(C1cosx C2sinx)

2.求微分方程y xcosx y满足初始条件yx 的特解 2x2

解答1：（这是一阶线性非齐次微分方程，可用常数变易法） y相应齐次线性微分方程y 0的通解为y Cx x

设非齐次方程的通解为y px，代入得p cosx，从而p sinx C

故原微分方程的通解为y x(sinx C) 由初始条件yx

2 2可得C 2，从而y xsinx 2x

y1 xcosx，故P ,Q xcosx，从而xx解答2：（公式法）原微分方程就是y

原微分方程的通解为

y e Pdx11 Qe pdxdx C e xdx xcosx e xdxdx C xcosxdx C

x(sinx C) 由初始条件yx

2 2可得C 2，从而y xsinx 2x

3.求解微分方程

解答：变量分离为x(1 lnx) y 2dy dx 0 dy

y211 lnxdx，两边积分得arcsiny (1 lnx)2 C 2x

4.设函数 (x)连续可微，且 (0) 1，试求 (x)，使曲线积分2

eLx (x)ydx (x)dy与路径无关

x ey y (x) (x) /(x)即 / ex 0 y x 解答：由于积分与路径无关，因此 ex (x)

相应齐次方程为 / 0，其通解为 Ce x 设 ue x为非齐次方程的解，代入得u e /2x

12x1e，即非齐次方程的通解为 (x) Ce x ex 22

1代入初始条件 (0) 得C 1 2

1x x (x) e e积分得u C 因此

2