常微分方程第5章

高阶微分方程

线性空间中的微分方程 解对参数(初值)的连续依赖性

解对参数(初值)的连续可微性

例:单摆方程ml d x dt2 2

m g sin x

(1)

设

g l

1

方程两端同乘dx d x dt dt2 2

dx dt

得

x

l

sin x

dx dt

0mg

积分一次得1 dx c os x C 2 dt 2

首次积分

即

dx dt

2 cos x C 1

分离变量得通积分

dx 2 c os x C 1

t C2

椭圆积分！ 单摆在小振动时，方程(1)的线性近似为d x dt2 2

x 0

(2)

sin x x

x 充分小时

令 x1 x , x 2 xd x1 x 2 (2) d t x 2 x1

m = 1; l = 1; b = 0; g = 1; % parameters for undamped pendulum figure(1); phaseplot('pendulum', ... [-2*pi 2*pi 20], [-2 2 10], ... function dx=pendulum(t, x, flags, m, l, b, g) dx=[x(2); -b/m*x(2) - g*l/m*x(1)]; boxgrid([-2*pi 2*pi 20], [-2 2 10]), 10, ...

有阻尼线性摆情形：b 1

d x dt2

2

b

dx dt

x 0

(3)

(3)

d x1 x 2 d t x 2 x1 x 2

无阻尼非线性摆 d x1 dt x2

sin( x1 ) x2

进动

x (t ) 0, x (t ) , t

设 n 阶微分方程式(1)

d y dxn

n

F ( x, y,

dy dx

, ,

d

n 1

y

dx

n 1

),

这里 x 是自变量， 而 y 是未知函数.y

令y1 y , y 2 dy dx , , yn

d

n 1

dx

n 1

,

则微分方程 (1) 等价于下列 n 阶标准微分方程组：d y1 dx d y n 1 dx dyn dx y2 ,

yn , F ( x , y 1 , y 2 , , y n ).

(2)

考虑多个未知函数的高阶微分方程组，如d u dx2 2

dw d w F ( x,u, , v, w, , ), 2 dx dx dx du2

du

2

(3)

dv

dw d w G ( x,u, , v, w, , ), 2 dx dx dx dx d w dx3 3

微分方程组(3) 的阶数为n=6.

dw d w H ( x,u, , v, w, , ). 2 dx dx dx

du

2

其中未知函数 u , v , w 的最高微商的阶数分别是2,1,3.

令 y1 u , y 2

du dx

, y3 v, y4 w, y5

dw dx

, y6

d w dx2

2

.

则方程组(3)等价于下面的6阶标准微分方程组：

d y1 dx dy2 dx dy3 dx dy4 dx dy5 dx

y2 , F ( x , y 1 , , y 6 ), G ( x , y 1 , , y 6 ), y5 , y6 ,

(4)

dy6 dx

H ( x , y 1 , , y 6 ).

微分方程组 (2) 和 (4) 的特点是 未知函数的个数等于微分方程本身的阶数. 这类方程组可以写成如下标准形式：d y1 dx dy2dx

f 1 ( x , y 1 , y 2 , , y n ), f 2 ( x , y 1 , y 2 , , y n ),

其中 f 1 , f 2 , , f n 是 变元 ( x , y 1 , y 2 , , y n )

在某个区域 D 内的连续函数. (5)

dyn dx

f n ( x , y 1 , y 2 , , y n ),

采用向量的记号，使得微分方程组(5)可以写成更为 简洁的形式. 为此，令 n 维行向量y ( y1 , y 2 , , y n ) n .

又令f i (

x , y ) f i ( x , y1 , y 2 , , y n )( i 1, 2 , , n )

和f ( x , y ) ( f 1 ( x , y ), f 2 ( x , y ), , f n ( x , y )) n .

而且规定 d y ( d y 1 , d y 2 , , d y n ),dx dx dx dx

则微分方程组(5)的向量形式为dy dx f ( x, y )

其中 f ( x , y ) 是关于变元 ( x , y ) D 的一个n维向量值函数；n 即 (5)的未知函数 y y ( x ) 在 n 维线性空间 中取值.

这里假定 n 是实数域上的线性空间.dy dx f ( x, y ) y ( x0 ) y0

对于上述初值问题Picard定理及Peano定理仍成立！

在 n 中任取 y ( y 1 , y 2 , , y n ) , 令 y 表示 y 的模(范数), 它可以按不同的方式来定义，如：(1) y y1 y 2 y n ;2 2 2

( 2 ) y y1 y 2 y n ;

( 3) y m a x y 1 , y 2 , , y n

.

第一种定义就是欧氏模；在(2)(3), 等式左边的 表示向量的模， 而右边的 则是数量的绝对值.

我们可以按上述三种定义中任何一种来理解维向量的模， 通常定义在应用上比较方便. 他们是等价的.模的基本性质：12on 对任何 y , y 0; 而且 y 0 当且仅当 y 0;

o

对任何 y n , ; | y | | || y | 对任何y, z , y z y z .n

3

o

线性微分方程组dyk dx

ai 1

n

ik

( x ) y i ek ( x )

( k 1, 2, , n )

(6)

的向量形式可以写成dy dx yA( x ) e( x )

(7)

其中向量y ( y1 , y 2 , , y n ) e ( x ) ( e1 ( x ), e 2 ( x ), , e n ( x )) A ( x ) ( a ik ( x )) n n .

矩阵

若采用列向量的写法，即 y y1 y2 , yn e1 ( x ) e2 ( x ) , e( x ) en ( x )

则微分方程组(6)的向量形式为dy dx A( x ) y e( x )

(8)

这在形式上是与(7)有区别的.dy dx yA ( x ) e ( x ) (7 )